מבחן לדוגמה: חקירת פונקציה פולינומיאלית (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

היעזרו בכך ש-$x^n>0$ לכל $x\neq0$ כאשר $n$ זוגי, וש-$x^n<0$ לכל $x<0$ כאשר $n$ אי-זוגי, ומצאו את תחומי החיוביות והשליליות של $f(x)$. הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

הראו כי $f'(x)=x^{n-1}\big((n+1)x-4n\big)$.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגן. הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

לפניכם שלושה גרפים III-I. אחד מהם מתאר את $f(x)$ עבור $n$ זוגי, ואחד מתאר את $f(x)$ עבור $n>1$ אי-זוגי.

קבעו איזה גרף מתאר את $f(x)$ עבור $n$ זוגי, ואיזה עבור $n>1$ אי-זוגי. נמקו.

הביעו באמצעות $t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $B$.

הראו כי $AB=\frac{4+3t-t^3}{6}$.

מצאו את נקודות הקיצון המקומיות של $AB$ כפונקציה של $t$, וקבעו את סוגן.

משולש חסום במעגל שרדיוסו 5 ס"מ. אורך אחת מצלעות המשולש 6 ס"מ.

נתונה הפונקציה $f(x)=-x^3-4x+2$.

הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ בתחום $0<x<10$. נתון: $f(1)=-5.5$, $f(3)=0$, $f(7)=8$.

נתונה סדרה הנדסית אינסופית $a_1,a_2,a_3,\dots$ שכל איבריה שונים מ-0. מגדירים סדרה חדשה: $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ לכל $n$ טבעי.

לפונקציה יש נקודת קיצון יחידה בתחום $0<x<3$. מצאו את שיעור ה-$x$ שלה באמצעות $n$ ו-$m$, וקבעו את סוגה לפי $n$ ו-$m$.

קבעו, לכל אחד מארבעת המקרים של זוגיות $n$ ו-$m$, אם $x=0$ ו-$x=3$ הן נקודות קיצון, ואם כן - מאיזה סוג.

הביעו באמצעות $b$ ו-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $B$.

הביעו באמצעות $t$ את שיעור ה-$y$ של הנקודה C. האם הוא תלוי ב-$c$?

עבור $c=-3$: מצאו את תחום הערכים של $t$, ואת השטח המקסימלי של המשולש OBC.

מצאו את כל ערכי $c$ שבעבורם לשטח המשולש OBC יש ערך מקסימלי, ומצאו את הערך הזה.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$. לאילו ערכים של $b$ גרף הפונקציה חותך את ציר ה-$x$? מצאו את נקודות החיתוך באמצעות $b$.

חקרו: לאילו ערכים של $b$ יש לפונקציה נקודות קיצון? מצאו אותן באמצעות $b$ וקבעו את סוגן.

לאילו ערכים של $b$ יש לגרף הפונקציה אסימפטוטות אנכיות? מה קורה לגרף ליד $x=\pm1$ בערך של $b$ שבו אין אסימפטוטה?

ידוע כי ערך המינימום של $f(x)$ הוא 4. מצאו את $b$, ומצאו את מספר הפתרונות של המשוואה $f(x)=m$ לפי ערכי $m$.

מצאו את כל ערכי $b$ שבעבורם לכל $0<t<3$ הנקודה $B$ נמצאת משמאל לנקודה $A$.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת החיתוך של גרף $f(x)$ עם הישר, ומצאו את כל ערכי $t$ בתחום $0\le t<x_0$ ($x_0$ - שיעור החיתוך) שבעבורם אורך הקטע $AB$ מקסימלי.

נתון $0\le t\le c$, כאשר $0<c<5$. מצאו את כל ערכי $c$ שבעבורם האורך המינימלי של $AB$ מתקבל רק בקצה $t=c$.