מבחן לדוגמה: נקודות מיוחדות במשולש (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו כי $\triangle OKA\cong\triangle OHC$.

מהו היחס בין שטח המשולש $ABC$ לשטח המרובע $OHCK$?

הוכיחו כי את המרובע $OHCK$ ניתן לחסום במעגל.

שטח המשולש $ABC$ הוא $9\sqrt3$, $CH=1$.

מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המרובע $OHCK$.

מצאו את הזוויות של המשולש $BDE$.

חשבו את $EC$ ואת $DE$.

חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $ABC$ ואת רדיוס המעגל החסום בו.

חשבו את אורך הקטע $AE$.

חשבו את $\alpha$.

הסבירו מדוע $\sphericalangle OAB=45^\circ$ ו-$\sphericalangle OBA=\frac{\alpha}{2}$. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש $AOB$, וחשבו את $BO$.

הראו כי $\sphericalangle OBM=45^\circ$.

חשבו את $BM$ (היעזרו במשולש $BMC$), ואת שטח המשולש $OBM$.

הוכיחו כי $\sphericalangle BIC=90^\circ+\frac{\beta}{2}$.

נתון ש-$\sphericalangle BIC$ גדולה פי 3 מ-$\sphericalangle BAC$. חשבו את $\sphericalangle BAC$.

הביעו את היחס $\frac rR$ באמצעות $\cos2\alpha$.

הוכיחו כי בכל משולש שווה-שוקיים $R\ge2r$, וקבעו מתי מתקיים שוויון.

מצאו את זוויות הבסיס של כל המשולשים שווי-השוקיים שבהם $R=4r$.

נתון שבמשולש $ABC$ מתקיים $R=4r$, $\angle BAC>90^\circ$ ו-$R+r=5$. מצאו את אורך הקטע $AE$.

הסבירו מדוע $\angle BAE=\angle EAC$.

הוכיחו כי $\angle AEG=\angle ACE$, והסיקו כי $\Delta ACE\sim\Delta AEG$.

נתון: $AE=4\sqrt6$, $AG=8$.

חשבו את אורך המיתר AC.

הוכיחו: $BC\parallel GE$. (רמז: הראו כי $\angle GEB=\angle BAE$ וכי $\angle EBC=\angle EAC$.)

נתון: AB=6.

חשבו את אורך הקטע AF.

מהו היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש AFC? נמקו.

חשבו את שטח המשולש $QTS$.

מצאו את היחס בין שטח המשולש $PQT$ לשטח המשולש $QTR$.

הוכיחו כי $OM\parallel AC$, והביעו באמצעות $k$ את היחס $\frac{OM}{AC}$.

נסמן ב-$S$ את שטח המרובע $EMKO$. הביעו באמצעות $S$ ו-$k$ את שטח המשולש $AOC$.

מצאו את הערך של $k$ שבעבורו שטח המשולש $AOC$ שווה ל-$S$.

בעבור $k$ שמצאתם בסעיף ג, מצאו את כל ערכי $\alpha$ שבעבורם הנקודה $M$ נמצאת מחוץ למעגל.