מבחן לדוגמה: הגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה לכיתה י"א 5 יח"ל בנושא הגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות (חומר קודם): 8 שאלות פתוחות מ-3 שיעורים שונים של הנושא, ברמות שונות (קלה: 3, בינונית: 2, קשה: 3). המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל המבחנים - שם מחליפים שאלות, מוסיפים פתרונות ומורידים ל-Word.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

הגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות (חומר קודם)

8 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · תחומי עלייה ושליליות של tan x בקטעהגרף של tan x והמחזור π · שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=tan⁡xf(x)=\tan xf(x)=tanx בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π, x≠±π2x\neq\pm\frac{\pi}{2}x=±2π​.

א.

מצאו את תחומי העלייה של f(x)f(x)f(x) בתחום הנתון.

ב.

מצאו את התחומים שבהם f(x)<0f(x)<0f(x)<0 בתחום הנתון.

שאלה 2 · תחום, אסימפטוטות ותחומי סימן של tan x − 2xהגרף של tan x והמחזור π · שאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה k(x)=tan⁡(x)−2xk(x)=\tan(x)-2xk(x)=tan(x)−2x בתחום 0≤x≤3π20\le x\le\frac{3\pi}{2}0≤x≤23π​. ידוע כי בתחום 0<x<3π20<x<\frac{3\pi}{2}0<x<23π​ גרף k(x)k(x)k(x) חותך את ציר ה-xxx בשתי נקודות בלבד, ששיעורי ה-xxx שלהן הם 1.1661.1661.166 ו-4.6044.6044.604 בקירוב.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של k(x)k(x)k(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לציר ה-xxx.

ב.

מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של k(x)k(x)k(x).

שאלה 3 · מקבילית שקודקודיה על הגרף של tan xהגרף של tan x והמחזור π · שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=tan⁡xf(x)=\tan xf(x)=tanx. הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD נמצאות על הגרף של הפונקציה, ושיעורי ה-xxx שלהן הם xA=π3x_A=\frac{\pi}{3}xA​=3π​, xB=4π3x_B=\frac{4\pi}{3}xB​=34π​, xC=−π3x_C=-\frac{\pi}{3}xC​=−3π​, xD=2π3x_D=\frac{2\pi}{3}xD​=32π​ (ראו סרטוט).
f(x)
ABCD

א.

מצאו את שיעורי ה-yyy של ארבע הנקודות.

ב.

הוכיחו שהמרובע ABDCABDCABDC הוא מקבילית.

ג.

מצאו את שטח המקבילית ואת נקודת החיתוך של האלכסונים שלה.

שאלה 4 · הזזה אנכית ואופקית של $sin x$ : תחום ערכים ואפסיםהזזה: sin(x+b) ו-sin x+B · שאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=sin⁡x+3f(x)=\sin x+3f(x)=sinx+3 ו-g(x)=sin⁡(x+π3)g(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)g(x)=sin(x+3π​).

א.

מצאו את תחום הערכים של fff, ואת שיעורי כל נקודות המקסימום של הגרף שלה.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של ggg עם ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

שאלה 5 · מציאת הזזות לפי נקודת מקסימום ושימוש בסימטריה של הגרףהזזה: sin(x+b) ו-sin x+B · שאלת ביניים · קשה

הגרף של הפונקציה ggg מתקבל מהגרף של y=sin⁡xy=\sin xy=sinx בהזזה של bbb יחידות ימינה (0<b<2π0<b<2\pi0<b<2π) ואחר כך בהזזה של BBB יחידות למטה (B>0B>0B>0). הנקודה M(5π6,−1)M\left(\frac{5\pi}{6},-1\right)M(65π​,−1) היא נקודת מקסימום של הגרף של ggg.
y=sin(x)y=g(x)
M

א.

מצאו את bbb ואת BBB, וכתבו ביטוי ל-g(x)g(x)g(x).

ב.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף של ggg עם ציר ה-yyy, ואת נקודת המינימום של ggg בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

ג.

הגרף של ggg סימטרי ביחס לישר האנכי העובר בנקודת המקסימום MMM. היעזרו בכך ומצאו את ערך ה-xxx בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π שבו g(x)=g(0)g(x)=g(0)g(x)=g(0). נמקו שאין ערך נוסף כזה בתחום.

שאלה 6 · גרף סינוס מוזז הנוגע בציר ה- $x$ הזזה: sin(x+b) ו-sin x+B · שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡(x−π3)+1f(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1f(x)=sin(x−3π​)+1.

הסבירו מדוע f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0 לכל xxx, ומצאו את כל נקודות החיתוך של הגרף של fff עם ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π. האם בנקודות אלה הגרף חוצה את ציר ה-xxx או רק נוגע בו? נמקו.

שאלה 7 · הפונקציה $2 sin^{2} x$ : זהות, גרף, אינטגרל ונפחזיהוי פונקציה טריגונומטרית מתוך גרף · שאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות: f(x)=2sin⁡2xf(x)=2\sin^2xf(x)=2sin2x, g(x)=cos⁡2x−1g(x)=\cos2x-1g(x)=cos2x−1, בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.
גרף I
גרף II
גרף III

א.

הראו כי f(x)=1−cos⁡2xf(x)=1-\cos2xf(x)=1−cos2x, והסיקו ש-g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

ב.

איזה מבין הגרפים I-III מתאר את f(x)f(x)f(x), ואיזה את g(x)g(x)g(x)? נמקו.

ג.

חשבו את ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi}f(x)\,dx∫0π​f(x)dx.

ד.

בכמה גדול ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi}f(x)\,dx∫0π​f(x)dx מ-∫0πg(x) dx\int_0^{\pi}g(x)\,dx∫0π​g(x)dx?

ה.

חשבו את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב גרף הפונקציה f(x)\sqrt{f(x)}f(x)​ סביב ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}0≤x≤2π​.

שאלה 8 · התאמת גרפים לפונקציות: משרעת, הזזה אנכית ושיקוףזיהוי פונקציה טריגונומטרית מתוך גרף · שאלה קצרה · קלה

נתונות שלוש פונקציות: f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin xf(x)=2sinx, g(x)=−2sin⁡xg(x)=-2\sin xg(x)=−2sinx, h(x)=sin⁡x+1h(x)=\sin x+1h(x)=sinx+1. לפניכם הגרפים שלהן בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π (באותו קנה מידה), בסדר אחר.
גרף I
גרף II
גרף III

התאימו לכל פונקציה את הגרף שלה. נמקו.

שאלה 1 · תחומי עלייה ושליליות של tan x בקטעהגרף של tan x והמחזור π · שאלה קצרה · בינונית

שאלה 2 · תחום, אסימפטוטות ותחומי סימן של tan x − 2xהגרף של tan x והמחזור π · שאלת ביניים · בינונית

שאלה 3 · מקבילית שקודקודיה על הגרף של tan xהגרף של tan x והמחזור π · שאלת ביניים · קשה

שאלה 4 · הזזה אנכית ואופקית של sinx: תחום ערכים ואפסיםהזזה: sin(x+b) ו-sin x+B · שאלה קצרה · קלה

שאלה 5 · מציאת הזזות לפי נקודת מקסימום ושימוש בסימטריה של הגרףהזזה: sin(x+b) ו-sin x+B · שאלת ביניים · קשה

שאלה 6 · גרף סינוס מוזז הנוגע בציר ה-xהזזה: sin(x+b) ו-sin x+B · שאלה קצרה · קשה

שאלה 7 · הפונקציה 2sin2x: זהות, גרף, אינטגרל ונפחזיהוי פונקציה טריגונומטרית מתוך גרף · שאלה מלאה · קלה

שאלה 8 · התאמת גרפים לפונקציות: משרעת, הזזה אנכית ושיקוףזיהוי פונקציה טריגונומטרית מתוך גרף · שאלה קצרה · קלה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 4 · הזזה אנכית ואופקית של $sin x$ : תחום ערכים ואפסיםהזזה: sin(x+b) ו-sin x+B · שאלה קצרה · קלה

שאלה 6 · גרף סינוס מוזז הנוגע בציר ה- $x$ הזזה: sin(x+b) ו-sin x+B · שאלה קצרה · קשה

שאלה 7 · הפונקציה $2 sin^{2} x$ : זהות, גרף, אינטגרל ונפחזיהוי פונקציה טריגונומטרית מתוך גרף · שאלה מלאה · קלה