מבחן לדוגמה: חישובי זוויות במעגל - כיתה י"א 5 יח"ל

הסבירו מדוע $\sphericalangle OFC=90^\circ$, ומצאו את גודל הזווית $FOD$.

מצאו את גודל הזווית $ODF$.

הסבירו מדוע $\sphericalangle AED=90^\circ$, ומצאו את האורך של $DE$.

מצאו את גודל הזווית $FDC$.

חשבו את האורך של $DC$.

הסרטוט לסעיף א:

במעגל שבסרטוט המיתרים $AB$ ו-$CD$ נחתכים בנקודה $P$. נתון: הקשת $AC$ (שאינה מכילה את $B$ ואת $D$) היא $80^\circ$, והקשת $BD$ (שאינה מכילה את $A$ ואת $C$) היא $120^\circ$. מעבירים את המיתר $BC$. חשבו את $\sphericalangle ABC$, את $\sphericalangle BCD$ ואת $\sphericalangle BPD$.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי: $\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$.

נתון גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-3\le x\le5$, ונתונה הפונקציה $h(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dx$ עבור $a>-1$.

מצאו את $\angle AKC$ ואת $\angle AOC$.

משנים את מקומן של הנקודות B ו-D על המעגל כך שהקשת AC נשארת $110^\circ$ והמיתרים AB ו-CD עדיין נחתכים בנקודה K.

מה צריכה להיות הקשת BD כדי שהנקודות A, K, O ו-C יהיו על מעגל אחד? נמקו.

הביעו באמצעות R ו-$\alpha$ את שטחי המשולשים ABC ו-ODC.

נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא: $2\sqrt2\sin(85^\circ)$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC כך ש-$\angle CAE=55^\circ$, כמתואר בסרטוט.

הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.

מצאו את הזוויות $\angle BCE$ ו-$\angle CKE$.

הביעו באמצעות $a$ ו-$b$ את אורך הקטע BE.

נתון: $BE=EA$ (הנקודה E היא אמצע הקטע AB).

מצאו את היחס $\frac ba$. מצאו את כל האפשרויות.

בעבור כל אחת מן האפשרויות שמצאתם בסעיף ג, מצאו את גודל הזווית $\angle ABC$.

הביעו באמצעות $\alpha$ את זוויות המשולש $ABC$, ובאמצעות $R$ ו-$\alpha$ את אורכי הצלעות $AB$ ו-$BC$.

הביעו את $k$ באמצעות $\alpha$.

נתון: $k=2.5$, $AD=5$.

מצאו את $\alpha$ ואת $R$.

מצאו את כל הערכים של $k$ שבעבורם קיים סרטוט כזה (משולש $ABC$, והמשיק ב-$B$ חותך את המשך $CA$ מעבר ל-$A$).