שאלות פתוחות: חישובי זוויות במעגל - כיתה י"א 5 יח"ל

הסרטוט לסעיף א:

במעגל שבסרטוט המיתרים $AB$ ו-$CD$ נחתכים בנקודה $P$. נתון: הקשת $AC$ (שאינה מכילה את $B$ ואת $D$) היא $80^\circ$, והקשת $BD$ (שאינה מכילה את $A$ ואת $C$) היא $120^\circ$. מעבירים את המיתר $BC$. חשבו את $\sphericalangle ABC$, את $\sphericalangle BCD$ ואת $\sphericalangle BPD$.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי: $\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$.

נתון גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-3\le x\le5$, ונתונה הפונקציה $h(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dx$ עבור $a>-1$.

הסרטוט לסעיף א:

שני ישרים יוצאים מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל. הישר הראשון חותך את המעגל בנקודות $A$ ו-$B$, והישר השני חותך אותו בנקודות $C$ ו-$D$ ($A$ בין $P$ ל-$B$, ו-$C$ בין $P$ ל-$D$). הראו כי הזווית בין הישרים שווה למחצית ההפרש בין שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית. כלומר יש להראות: $\sphericalangle BPD=\frac{BD-AC}{2}$.

לפניכם שתי טענות, ורק אחת מהן נכונה לכל $n$ טבעי. קבעו איזו מהטענות נכונה. הוכיחו את הטענה הנכונה לכל $n$ טבעי באינדוקציה (או בדרך אחרת).

I. $\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{n+2}$

II. $\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$

קבעו אם הטענות הבאות נכונות. נמקו.

I. הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-1}}$ זהה לפונקציה $h(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$.

II. הפונקציה $f(x)=(x+3)\sqrt{x+3}$ זהה לפונקציה $h(x)=\sqrt{(x+3)^3}$.

נתון גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-4\le x\le6$, ונתונה הפונקציה $h(a)=\int_{3}^{a}f(x)\,dx$ עבור $a<3$.

מצאו את הזוויות $\angle BCE$ ו-$\angle CKE$.

הביעו באמצעות $a$ ו-$b$ את אורך הקטע BE.

נתון: $BE=EA$ (הנקודה E היא אמצע הקטע AB).

מצאו את היחס $\frac ba$. מצאו את כל האפשרויות.

בעבור כל אחת מן האפשרויות שמצאתם בסעיף ג, מצאו את גודל הזווית $\angle ABC$.

הראו כי $S_{\triangle ABC}=2R^2\sin70^\circ\sin\alpha\sin(110^\circ-\alpha)$.

הביעו באמצעות R ו-$\alpha$ את שטח המשולש ODC.

נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא: $4\sin^270^\circ$.

מצאו את $\alpha$.

הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC (מעבר לנקודה C) כך ש-$\angle CAE=45^\circ$, כמתואר בסרטוט.

הוכיחו: $\Delta CEB\sim\Delta DCE$.

נתון: $ED=13$, $AK=5$. נסמן את שטח המשולש CEK ב-$S$.

הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש CKD.

נתון: $BC=\frac{91}{\sqrt{192}}$.

הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש CEB.

הנקודה O היא מרכז המעגל.

הוכיחו: $\angle COE=\angle CKE$.

נתון: $\angle CAE=30^\circ$.

הסבירו מדוע הנקודות E, C, O ו-K נמצאות על מעגל אחד.

הביעו באמצעות $\alpha$ את זוויות המשולש $ABC$, ובאמצעות $R$ ו-$\alpha$ את אורכי הצלעות $AB$ ו-$BC$.

הביעו את $k$ באמצעות $\alpha$.

נתון: $k=2.5$, $AD=5$.

מצאו את $\alpha$ ואת $R$.

מצאו את כל הערכים של $k$ שבעבורם קיים סרטוט כזה (משולש $ABC$, והמשיק ב-$B$ חותך את המשך $CA$ מעבר ל-$A$).

הסבירו מדוע $\sphericalangle OFC=90^\circ$, ומצאו את גודל הזווית $FOD$.

מצאו את גודל הזווית $ODF$.

הסבירו מדוע $\sphericalangle AED=90^\circ$, ומצאו את האורך של $DE$.

מצאו את גודל הזווית $FDC$.

חשבו את האורך של $DC$.

מצאו את $\angle AKC$ ואת $\angle AOC$.

משנים את מקומן של הנקודות B ו-D על המעגל כך שהקשת AC נשארת $110^\circ$ והמיתרים AB ו-CD עדיין נחתכים בנקודה K.

מה צריכה להיות הקשת BD כדי שהנקודות A, K, O ו-C יהיו על מעגל אחד? נמקו.

הביעו באמצעות $\alpha$ את זוויות המשולש ACE.

מצאו את $\alpha$ שבעבורו הישר AE משיק למעגל.

עבור הערך של $\alpha$ שמצאתם בסעיף ב, הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.

מצאו את כל הערכים של $\alpha$ שבעבורם המשולש ACE חד זוויות.

הביעו באמצעות R ו-$\alpha$ את שטחי המשולשים ABC ו-ODC.

נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא: $2\sqrt2\sin(85^\circ)$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC כך ש-$\angle CAE=55^\circ$, כמתואר בסרטוט.

הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.