מבחן לדוגמה: חישובי אורכים במעגל בעזרת משפט פיתגורס - כיתה י"א 5 יח"ל

הסבירו מדוע $BF$ הוא קוטר במעגל.

הוכיחו: $\triangle EDF\sim\triangle BEF$.

הסבירו מדוע $E$ היא אמצע הצלע $DC$, ורשמו את האורך של $DE$.

חשבו את האורך של $FD$.

חשבו את רדיוס המעגל.

הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע $EABF$ במעגל.

הוכיחו: $\Delta DEF\sim\Delta BCF$, וחשבו את היחס $\frac{EF}{FC}$.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-$S$.

הביעו את שטחי המשולשים BFC ו-DFC באמצעות $S$.

נתון: $AB=3\sqrt3$.

חשבו את אורך האלכסון BD ואת קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF.

הביעו באמצעות $R$ את הערך של $x$ שבעבורו שטח המלבן $CDEG$ מקסימלי.

הנקודה $F$ נמצאת על הצלע $DE$.

הביעו באמצעות $R$ את סכום השטחים המקסימלי של המשולשים $CDF$ ו-$GEF$.

הביעו את $\sin\alpha$ באמצעות $k$ ו-$R$.

הוכיחו כי $CE=\frac12\sqrt{9R^2-2k^2}$.

נתון: $CE=CD$.

חשבו את $\alpha$.

מעבירים רדיוס OG, המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.

חשבו את גודל הזווית OEG.

הוכיחו: $AB^2=DE\cdot DA$.

הסבירו מדוע בהכרח $AB<AD$.

הביעו באמצעות $x$ את אורך הקטע $DE$ ואת היחס בין שטח המשולש BFC לשטח המשולש DEF.

נתון כי קוטר המעגל החוסם את המרובע $EABF$ הוא $\frac{\sqrt{13}}2$.

מצאו את $x$.

הביעו באמצעות $x$, $R$ ו-$d$ את שטח המלבן $MCDE$.

הביעו באמצעות $R$ ו-$d$ את הערך של $x$ שבעבורו שטח המלבן מקסימלי.

הראו כי לכל $d>0$, במלבן בעל השטח המקסימלי מתקיים $R<AC<1.5R$.

נתון כי במלבן בעל השטח המקסימלי $AC=\frac54R$. מצאו את $d$, והביעו באמצעות $R$ את השטח המקסימלי.