שאלות פתוחות: חישובי אורכים במעגל בעזרת משפט פיתגורס - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע $EABF$ במעגל.

הוכיחו: $\Delta DEF\sim\Delta BCF$, וחשבו את היחס $\frac{EF}{FC}$.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-$S$.

הביעו את שטחי המשולשים BFC ו-DFC באמצעות $S$.

נתון: $AB=3\sqrt3$.

חשבו את אורך האלכסון BD ואת קוטר המעגל החוסם את המרובע EABF.

הוכיחו: $\Delta DAB\sim\Delta BFC$.

נתון: $DE=EA$, $BC=2AD$.

חשבו את היחס $\frac{EF}{FC}$.

נסמן את שטח המשולש DEF ב-$S$.

הביעו את שטחי המשולשים DFC ו-BFC באמצעות $S$.

חשבו את יחס הדמיון בין המשולש DAB ובין המשולש BFC.

נסמן: $DE=a$.

הוכיחו: $AB^2=DE\cdot DA$.

הסבירו מדוע בהכרח $AB<AD$.

הביעו באמצעות $x$ את אורך הקטע $DE$ ואת היחס בין שטח המשולש BFC לשטח המשולש DEF.

נתון כי קוטר המעגל החוסם את המרובע $EABF$ הוא $\frac{\sqrt{13}}2$.

מצאו את $x$.

הראו כי $CD=\sqrt{x(8-x)}$.

הביעו באמצעות $x$ את שטח המלבן $ACDE$, ורשמו את התחום שבו $x$ יכול להשתנות.

מצאו את $x$ שבעבורו שטח המלבן מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

הנקודה $F$ נמצאת על הצלע $DE$.

הראו כי סכום השטחים של המשולשים $CDF$ ו-$AFE$ שווה למחצית שטח המלבן, ומצאו את הסכום המקסימלי.

הביעו את $\sin\alpha$ באמצעות $k$ ו-$R$.

הוכיחו כי $CE=\frac12\sqrt{9R^2-2k^2}$.

נתון: $CE=CD$.

חשבו את $\alpha$.

מעבירים רדיוס OG, המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.

חשבו את גודל הזווית OEG.

הביעו באמצעות $x$, $R$ ו-$d$ את שטח המלבן $MCDE$.

הביעו באמצעות $R$ ו-$d$ את הערך של $x$ שבעבורו שטח המלבן מקסימלי.

הראו כי לכל $d>0$, במלבן בעל השטח המקסימלי מתקיים $R<AC<1.5R$.

נתון כי במלבן בעל השטח המקסימלי $AC=\frac54R$. מצאו את $d$, והביעו באמצעות $R$ את השטח המקסימלי.

הוכיחו כי $\angle DOK=\angle COH$.

הוכיחו כי $\triangle OKD\cong\triangle OHC$, והסיקו כי $DK=CH$.

הראו ששטח המרובע $OHCK$ שווה לשטח המשולש $OCD$, ומצאו את שטח המרובע $OHCK$.

נתון: $CH=3$.

הסבירו מדוע $HK$ הוא קוטר של המעגל העובר דרך הנקודות $H$, $C$, $K$, ומצאו את רדיוס המעגל.

הביעו באמצעות $R$ את הערך של $x$ שבעבורו שטח המלבן $CDEG$ מקסימלי.

הנקודה $F$ נמצאת על הצלע $DE$.

הביעו באמצעות $R$ את סכום השטחים המקסימלי של המשולשים $CDF$ ו-$GEF$.

הוכיחו כי M נמצאת על הקטע KO, והביעו באמצעות $R$ ו-$r$ את אורך הקטע AE.

מצאו את התנאי על $R$ ו-$r$ שבעבורו הנקודה E נמצאת בין A ל-M.

הביעו באמצעות $R$ ו-$r$ את היחס בין שטח המשולש OKA לשטח המשולש MEO, והראו שיחס זה גדול מ-2.

נתון כי שטח המשולש OKA גדול פי 3 משטח המשולש MEO, וכי $KA=2\sqrt{11}$.

מצאו את $R$ ואת $r$.

הסבירו מדוע $BF$ הוא קוטר במעגל.

הוכיחו: $\triangle EDF\sim\triangle BEF$.

הסבירו מדוע $E$ היא אמצע הצלע $DC$, ורשמו את האורך של $DE$.

חשבו את האורך של $FD$.

חשבו את רדיוס המעגל.