מבחן לדוגמה: היקף ושטח: עיגול, גזרה וקשת - כיתה י"א 5 יח"ל

חשבו את אורך הקשת הקטנה $AB$. תנו תשובה מדויקת.

חשבו את שטח הגזרה $AOB$ (הגזרה של הקשת הקטנה). תנו תשובה מדויקת.

ידוע כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\ldots+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$. נסמן ב-$S_n$ את הסכום של $n$ האיברים הראשונים.

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 9. המשיק למעגל בנקודה $A$ יוצר זווית של $35^\circ$ עם המיתר $AB$ (ראו סרטוט).

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x}$, המוגדרת לכל $x\neq0$.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-4x$ (ראו גרף), ונתונה הפונקציה $g(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dx$ המוגדרת בתחום $-2\le t\le2$.

מצאו את הזווית המרכזית $\angle AOB$ של הגזרה.

חשבו את שטח הערוגה ואת אורך הגדר הדרושה כדי להקיף את כל הערוגה (לאורך הקשת ולאורך שני הרדיוסים). תנו תשובות מדויקות ומקורבות.

רוצים להגדיל את הערוגה כך שהזווית המרכזית שלה לא תשתנה, ושטחה יהיה $60\pi$ מ"ר. מצאו את הרדיוס החדש של הערוגה ואת אורך הקשת החדשה.

הביעו באמצעות $k$ את תחום ההגדרה של $x$.

הביעו באמצעות $k$ את אורך צלע הריבוע, שעבורו סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי.

הראו כי כאשר סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי, אי אפשר לחסום את הריבוע שהתקבל במעגל שהתקבל.

הביעו באמצעות $a$ ו-$b$ את סכום השטחים של שני הסהרונים.

הוכיחו כי המשולש $ABE$ שווה צלעות, ומצאו את הזוויות $\angle DAE$ ו-$\angle EBC$.

מצאו את היקף הצורה. תנו תשובה מדויקת ותשובה מקורבת.

מצאו את שטח הצורה. תנו תשובה מדויקת ותשובה מקורבת.