שאלות פתוחות: היקף ושטח: עיגול, גזרה וקשת - כיתה י"א 5 יח"ל

ידוע כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\ldots+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$. נסמן ב-$S_n$ את הסכום של $n$ האיברים הראשונים.

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 9. המשיק למעגל בנקודה $A$ יוצר זווית של $35^\circ$ עם המיתר $AB$ (ראו סרטוט).

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x}$, המוגדרת לכל $x\neq0$.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-4x$ (ראו גרף), ונתונה הפונקציה $g(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dx$ המוגדרת בתחום $-2\le t\le2$.

הביעו באמצעות $k$ את תחום ההגדרה של $x$.

הביעו באמצעות $k$ את אורך צלע הריבוע, שעבורו סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי.

הראו כי כאשר סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי, אי אפשר לחסום את הריבוע שהתקבל במעגל שהתקבל.

הביעו באמצעות $a$ ו-$b$ את סכום השטחים של שני הסהרונים.

בכמה אחוזים גדול היקף המכסה של הסיר האדום מהיקף המכסה של הסיר הכחול?

ידוע כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot5+3\cdot11+5\cdot17+\ldots+(2n-1)(6n-1)=n(4n^2+2n-1)$.

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו $O$. המשיק למעגל בנקודה $A$ יוצר זווית של $\alpha$ מעלות עם המיתר $AB$ (ראו סרטוט).

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{9x^2+5}}{x+1}$ המוגדרת לכל $x$ השונה מ-$(-1)$.

$f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל $x$. הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$. ל-$f(x)$ יש נקודות קיצון ב-$x=-2$ וב-$x=2$, ובנקודות $x=-1$ ו-$x=1$ המשיק לגרף מקביל לציר ה-$x$. נתונה הפונקציה $g(t)$ המוגדרת בתחום: $-2\le t\le2$ ומקיימת: $g(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dx$.

הוכיחו כי המשולש $ABE$ שווה צלעות, ומצאו את הזוויות $\angle DAE$ ו-$\angle EBC$.

מצאו את היקף הצורה. תנו תשובה מדויקת ותשובה מקורבת.

מצאו את שטח הצורה. תנו תשובה מדויקת ותשובה מקורבת.

חשבו את אורך הקשת הקטנה $AB$. תנו תשובה מדויקת.

חשבו את שטח הגזרה $AOB$ (הגזרה של הקשת הקטנה). תנו תשובה מדויקת.

חשבו את השטח שבתוך המעגל ומחוץ למשולש.

חשבו את השטח המוגבל על ידי המיתר $AB$ והקשת הקטנה $AB$. תנו תשובה מדויקת ותשובה מקורבת.

מצאו את הזווית המרכזית $\angle AOB$ של הגזרה.

חשבו את שטח הערוגה ואת אורך הגדר הדרושה כדי להקיף את כל הערוגה (לאורך הקשת ולאורך שני הרדיוסים). תנו תשובות מדויקות ומקורבות.

רוצים להגדיל את הערוגה כך שהזווית המרכזית שלה לא תשתנה, ושטחה יהיה $60\pi$ מ"ר. מצאו את הרדיוס החדש של הערוגה ואת אורך הקשת החדשה.