מבחן לדוגמה: זוויות היקפיות על אותה קשת ועל קשתות שוות - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את הזוויות $\angle AEB$, $\angle BEC$ ו-$\angle CED$.

הראו כי $\angle ECD=\angle BAE$, והוכיחו: $\Delta AEB\sim\Delta CED$.

נתון: $AB=10$, $CD=4$.

מצאו את היחס $\frac{AE}{CE}$.

מצאו את היחס בין שטח המשולש $AEB$ לשטח המשולש $CED$.

הוכיחו: $FG=FH$. (היעזרו בזווית שבין הישר $\ell$ למיתר $FG$.)

נתון: $\angle GCH=80^\circ$.

הסבירו מדוע $\angle GCF=\angle FCH$, ומצאו את גודל הזווית $\angle FGH$.

הוכיחו: $\Delta FGK\sim\Delta FCG$.

נתון: $FK=4$, $KC=5$.

מצאו את אורך המיתר $FG$.

הוכיחו כי המשולש $APB$ שווה שוקיים.

נתון: $\sphericalangle ABC=35^\circ$. מצאו את $\sphericalangle APC$.

הוכיחו: $\angle AEB=\angle BEC=\angle CED$.

מצאו את $\angle AED$.

הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$

הנקודות B, C, D, E נמצאות על מעגל. המיתרים BD ו-CE נחתכים בנקודה A (ראו סרטוט). נתון: $AE=\frac34AC$, $AD=3AB$.

לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$. לפונקציה $f(x)$ יש שתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה-$x$ ושתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה-$y$. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$.

I. $\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2-4}}$ II. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2+4}}$ III. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2-4}}$ IV. $\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+4}}$

הגרפים I-II בסרטוט שלפניכם מתארים את הפונקציה $f(x)$ ואת פונקציית הנגזרת $f'(x)$. כל נקודות הקיצון של הפונקציות $f(x)$ ו-$f'(x)$ מתוארות בסרטוט.

הוכיחו כי המשולש $ADE$ שווה צלעות.

הוכיחו כי $BD=AD+DC$.

נתון: $AB=7$, $AD=3$. מצאו את $DC$ ואת שטח המקבילית $LEDC$.

מה צריך להיות המיקום של $D$ על הקשת $AC$ כדי שהמקבילית $LEDC$ תהיה מעוין? מה אורך $BD$ במקרה זה, כאשר $AB=7$?