שאלות פתוחות: זוויות היקפיות על אותה קשת ועל קשתות שוות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת או על קשתות שוות, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות נקודה E היא אמצע הקשת BC ומעבירים דרכה משיק, משולש שווה-שוקיים עם זווית ראש של 120° חסום במעגל, משיק למעגל מקביל למיתר, ומשולש שווה-צלעות חסום שבו מעבירים מיתר נוסף. בכל שאלה צריך להוכיח שוויון זוויות ולהסיק ממנו מסקנות. רוב השאלות בינוניות. אפשר להוסיף את השאלות לבוחן או לדף עבודה, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא ובקובץ Word.

29 שאלותקלה: 6בינונית: 20קשה: 3

שאלה 1 · מעגל: אמצע קשת ומשיק - דמיון ותאלס בהדרכהשאלה מלאה · קלה

הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G. המיתרים AE ו-BC נחתכים בנקודה F.
ABCEFG

א.

הסבירו מדוע ∠BAE=∠EAC\angle BAE=\angle EAC∠BAE=∠EAC.

ב.

הוכיחו כי ∠AEG=∠ACE\angle AEG=\angle ACE∠AEG=∠ACE, והסיקו כי ΔACE∼ΔAEG\Delta ACE\sim\Delta AEGΔACE∼ΔAEG.

ג.

נתון: AE=46AE=4\sqrt6AE=46​, AG=8AG=8AG=8.

חשבו את אורך המיתר AC.

ד.

הוכיחו: BC∥GEBC\parallel GEBC∥GE. (רמז: הראו כי ∠GEB=∠BAE\angle GEB=\angle BAE∠GEB=∠BAE וכי ∠EBC=∠EAC\angle EBC=\angle EAC∠EBC=∠EAC.)

ה.

נתון: AB=6.

חשבו את אורך הקטע AF.

ו.

מהו היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש AFC? נמקו.

שאלה 2 · מעגל: משיק מקודקוד, דמיון, משולש שווה-שוקיים וחוצה זוויתשאלה מלאה · בינונית

הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC שאינה מכילה את A, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה A מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר CB בנקודה P. המיתרים AE ו-BC נחתכים בנקודה F.
ABCEFP

א.

הוכיחו: ΔPAB∼ΔPCA\Delta PAB\sim\Delta PCAΔPAB∼ΔPCA.

ב.

נתון: PB=4PB=4PB=4, BC=5BC=5BC=5.

חשבו את אורך המשיק PA.

ג.

הוכיחו: PA=PFPA=PFPA=PF.

ד.

נתון: שטח המשולש ABC הוא 10.

חשבו את שטח המשולש APF.

ה.

מהו היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש AFC? נמקו את תשובתכם.

שאלה 3 · משולש שווה שוקיים עם זווית ראש $12 0^{\circ}$ וחותך מהמשך הבסיס: יחס שטחים כפונקציה של פרמטר ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

ABCABCABC הוא משולש שווה שוקיים (AB=ACAB=ACAB=AC) שבו ∠BAC=120∘\angle BAC=120^\circ∠BAC=120∘, החסום במעגל. הנקודה DDD נמצאת על המשך הצלע BCBCBC, כמתואר בסרטוט. הקטע ADADAD חותך את המעגל בנקודה EEE.
ABCDE

א.

הוכיחו: ΔAEB∼ΔCED\Delta AEB\sim\Delta CEDΔAEB∼ΔCED.

ב.

נסמן: ABCD=s\frac{AB}{CD}=sCDAB​=s.

הביעו באמצעות sss את היחס בין שטח המשולש ABDABDABD לשטח המשולש CEDCEDCED.

ג.

נתון כי שטח המשולש ABDABDABD גדול פי 7 משטח המשולש CEDCEDCED.

מצאו את היחס BCCD\frac{BC}{CD}CDBC​.

ד.

מצאו את היחס AEED\frac{AE}{ED}EDAE​.

שאלה 4 · משיק ומיתר מקביל לו: מיתרים שווים, חוצה זווית ודמיוןשאלה מלאה · קלה

הישר ℓ\ellℓ (שעליו הנקודות PPP ו-QQQ) משיק למעגל בנקודה FFF. המיתר GHGHGH מקביל לישר ℓ\ellℓ. הנקודה CCC נמצאת על המעגל, בצד של המיתר GHGHGH שאינו מכיל את FFF. המיתר CFCFCF חותך את GHGHGH בנקודה KKK (ראו סרטוט).
FGHCKPQℓ

א.

הוכיחו: FG=FHFG=FHFG=FH. (היעזרו בזווית שבין הישר ℓ\ellℓ למיתר FGFGFG.)

ב.

נתון: ∠GCH=80∘\angle GCH=80^\circ∠GCH=80∘.

הסבירו מדוע ∠GCF=∠FCH\angle GCF=\angle FCH∠GCF=∠FCH, ומצאו את גודל הזווית ∠FGH\angle FGH∠FGH.

ג.

הוכיחו: ΔFGK∼ΔFCG\Delta FGK\sim\Delta FCGΔFGK∼ΔFCG.

ד.

נתון: FK=4FK=4FK=4, KC=5KC=5KC=5.

מצאו את אורך המיתר FGFGFG.

שאלה 5 · מעגל דרך קודקוד המשיק לצלע שמולו: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימהשאלה מלאה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון ∠ACB=70∘\angle ACB=70^\circ∠ACB=70∘. הנקודות HHH, GGG ו-FFF נמצאות על הצלעות CBCBCB, ACACAC ו-ABABAB בהתאמה, כך שהמרובע GCHFGCHFGCHF חסום במעגל (ראו סרטוט).
נתון: ABABAB משיק למעגל בנקודה FFF, GH∥ABGH\parallel ABGH∥AB.
ABCGHF

א.

הוכיחו: FG=FHFG=FHFG=FH.

ב.

(1)

מצאו את גודל הזווית ∠BCF\angle BCF∠BCF.

(2)

הוכיחו: ΔCHF∼ΔCFA\Delta CHF\sim\Delta CFAΔCHF∼ΔCFA.

ג.

קוטר המעגל היוצא מנקודה FFF חותך את הצלע ACACAC בנקודה EEE. BKBKBK הוא הגובה לצלע ACACAC (KKK על ACACAC).

הוכיחו: ∠FEB=∠FKB\angle FEB=\angle FKB∠FEB=∠FKB.

שאלה 6 · משולש שווה צלעות חסום במעגל: $B D = A D + D C$ , שטח המקבילית ותנאי למעויןשאלה מלאה · קשה

משולש שווה צלעות ABCABCABC חסום במעגל. הנקודה DDD נמצאת על הקשת ACACAC שאינה מכילה את BBB.
דרך CCC עובר מיתר CLCLCL המקביל ל-BDBDBD. המיתרים ALALAL ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE (ראו ציור).
ABCDLE

א.

הוכיחו כי המשולש ADEADEADE שווה צלעות.

ב.

הוכיחו כי BD=AD+DCBD=AD+DCBD=AD+DC.

ג.

נתון: AB=7AB=7AB=7, AD=3AD=3AD=3. מצאו את DCDCDC ואת שטח המקבילית LEDCLEDCLEDC.

ד.

מה צריך להיות המיקום של DDD על הקשת ACACAC כדי שהמקבילית LEDCLEDCLEDC תהיה מעוין? מה אורך BDBDBD במקרה זה, כאשר AB=7AB=7AB=7?

שאלה 7 · שני מעגלים נחתכים: מרובע חסום וחוצה זווית, בשלביםשאלה מלאה · קלה

שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F נמצאת על הקשת BC, כמתואר בסרטוט. המשכי הקטעים DE ו-CF נפגשים בנקודה G.
DEABCFG

א.

הסבירו מדוע ∠EDA+∠ABE=180∘\angle EDA+\angle ABE=180^\circ∠EDA+∠ABE=180∘, והסיקו כי ∠EDA=∠CBA\angle EDA=\angle CBA∠EDA=∠CBA.

ב.

(1)

הסבירו מדוע ∠CBA=∠CFA\angle CBA=\angle CFA∠CBA=∠CFA.

(2)

הוכיחו: המרובע GDAF הוא בר חסימה במעגל.

ג.

נתון: CE חוצה את הזווית GCD.

הוכיחו: CGCD=GEDE\frac{CG}{CD}=\frac{GE}{DE}CDCG​=DEGE​.

ד.

נתון: CE מאונך ל-AB, DE=4DE=4DE=4, CD=12CD=12CD=12.

(1)

הראו כי ∠GDC=90∘\angle GDC=90^\circ∠GDC=90∘.

(2)

נסמן EG=yEG=yEG=y. הביעו את CG באמצעות yyy, וחשבו את EG ואת CG.

שאלה 8 · משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: משפט הסינוסים ויחסי שטחיםשאלה מלאה · בינונית

המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E. חוצה הזווית BAC חותך את הצלע BC בנקודה F (ראו סרטוט).
ABCEF

א.

הוכיחו: ∠AEB=∠ABC−∠ACB\angle AEB=\angle ABC-\angle ACB∠AEB=∠ABC−∠ACB.

ב.

נתון: ∠ABC=2∠ACB\angle ABC=2\angle ACB∠ABC=2∠ACB, BCAB=54\frac{BC}{AB}=\frac54ABBC​=45​.

(1)

הוכיחו: AE=ACAE=ACAE=AC.

(2)

מצאו את היחס: ACAB\frac{AC}{AB}ABAC​.

(3)

מצאו את היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש ACF.

ג.

נסמן את שטח המשולש ABF ב-SSS.

הביעו באמצעות SSS את שטח המשולש AEC.

שאלה 9 · משולש שווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך הבסיס: חישוב זוויות, דמיון ויחס שטחיםשאלה מלאה · קלה

ABCABCABC הוא משולש שווה שוקיים (AB=ACAB=ACAB=AC) החסום במעגל, ו-∠BAC=40∘\angle BAC=40^\circ∠BAC=40∘. הנקודה DDD נמצאת על המשך הצלע BCBCBC, כמתואר בסרטוט. הקטע ADADAD חותך את המעגל בנקודה EEE.
ABCDE

א.

מצאו את הזוויות ∠AEB\angle AEB∠AEB, ∠BEC\angle BEC∠BEC ו-∠CED\angle CED∠CED.

ב.

הראו כי ∠ECD=∠BAE\angle ECD=\angle BAE∠ECD=∠BAE, והוכיחו: ΔAEB∼ΔCED\Delta AEB\sim\Delta CEDΔAEB∼ΔCED.

ג.

נתון: AB=10AB=10AB=10, CD=4CD=4CD=4.

מצאו את היחס AECE\frac{AE}{CE}CEAE​.

ד.

מצאו את היחס בין שטח המשולש AEBAEBAEB לשטח המשולש CEDCEDCED.

שאלה 10 · משולש חד-זוויות ומרובע בר-חסימה CEFO: ניצבות מהמרכז ומעגלים משיקיםשאלה מלאה · בינונית

משולש חד-זוויות ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט. נתון כי המרובע CEFO הוא בר חסימה במעגל.
ABCOEF

א.

הוכיחו: EF=EBEF=EBEF=EB.

ב.

המעגל החוסם את המרובע CEFO חותך את הצלע AC בנקודה D כך ש-ED מקביל ל-AB.

(1)

הוכיחו: OE⊥BCOE\perp BCOE⊥BC.

(2)

הוכיחו: OD⊥ACOD\perp ACOD⊥AC.

ג.

הישר ℓ\ellℓ משיק בנקודה C למעגל החוסם את המשולש ABC.

הוכיחו כי הישר ℓ\ellℓ משיק למעגל החוסם את המרובע CEFO.

עוד 8 שאלות על זוויות היקפיות על אותה קשת ועל קשתות שוות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משולש שווה צלעות חסום במעגל: הוכחה מודרכת של מקבילית (שאלה מלאה · קלה)
משולש שווה צלעות $ABC$ חסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת $AC$ שאינה מכילה את $B$ . דרך $C$ העבירו מיתר $CL$ המקביל ל- $BD$ . המיתרים $AL$ …
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים אי-זוגיים, מיתרים נחתכים ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$
משולש ישר זווית ושווה שוקיים חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך היתר: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ( $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=AC$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע…
ריבוע חסום במעגל: זוויות היקפיות מנקודה על הקשת (שאלה קצרה · בינונית)
$ABCD$ הוא ריבוע החסום במעגל. הנקודה $E$ נמצאת על הקשת הקטנה $AD$ , כמתואר בסרטוט.
משולש שווה שוקיים הנתון בצלעותיו, חסום במעגל, וחותך מנקודה על המשך הבסיס: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ( $AB=AC=10$ , $BC=12$ ) החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל…
מעגל: קוטר מאונך למשיק, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה ודמיון (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$ החסום במעגל. הישר $ST$ משיק למעגל בנקודה $A$ ומקביל לצלע $BC$ . המיתר $AF$ מאונך ל- $BC$ . הנקודה $P$ נמצאת על הקשת…
משולש שווה שוקיים חסום במעגל: מיתרים מקבילים, מקבילית ומשולש שווה שוקיים (שאלה מלאה · בינונית)
משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $CA=CB$ ) חסום במעגל. נקודות $D$ ו- $L$ נמצאות על המעגל כך ש- $BD\parallel LC$ . המיתרים $AL$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $E$ …
מיתרים מקבילים במעגל ומשולש שווה שוקיים (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל נתונים שני מיתרים מקבילים $AB\parallel CD$ . המיתרים $AD$ ו- $BC$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו ציור).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מעגל: אמצע קשת, משיק, דמיון, תאלס ומשפט חוצה הזווית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
הנקודות A, B ו-C נמצאות על מעגל. נקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם. בנקודה E מעבירים משיק למעגל. המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G. המיתרים AE…
מעגל דרך קודקוד הזווית הישרה המשיק ליתר: מיתרים שווים, חוצה זווית, דמיון ומרובע בר-חסימה · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
המשולש $ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ . הנקודות $H$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות $CB$ , $AC$ ו- $AB$ בהתאמה, כך שהמרובע $GCHF$ חסום במעגל (ראו…
מרובע חסום ומשיק: זוויות היקפיות, משפט הסינוסים עם זווית משולשת ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
המרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה F. המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך המיתר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AB=CB$ .
מעגל עם קוטר ומרובע בר-חסימה CEFO: מקבילית, ניצבות ומעגלים משיקים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש-AB הוא קוטר במעגל. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט. נתון כי המרובע CEFO הוא בר חסימה…
שני מעגלים נחתכים: מרובעים חסומים, חוצה זווית ופיתגורס · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 4
שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F נמצאת על הקשת BC, כמתואר…
מעגל: זוויות היקפיות ודמיון, קטע אמצעים, חלוקת רדיוס ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 4
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle EKO=\angle ABK$ .
משולש שווה צלעות חסום במעגל וחותך מנקודה על המשך צלע: זוויות היקפיות, דמיון ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
$ABC$ הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל בנקודה $E$ .
מעגל: קוטר מתיכון השווה למחצית הצלע, אנך אמצעי, מרובע בר חסימה ודמיון · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 4
בסרטוט שלפניכם משולש קהה זווית $ABC$ החסום במעגל. הנקודה $K$ נמצאת על המשך הצלע $AB$ כך ש- $AB=BK$ . המשך הקטע $KC$ חותך את המעגל בנקודה נוספת, בנקודה $F$ . נתון:…
משולש שווה צלעות חסום במעגל: מיתרים מקבילים, מקבילית ומשולש שווה צלעות · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 2
משולש שווה צלעות $ABC$ חסום במעגל. נקודות $D$ ו- $L$ נמצאות על המעגל כך ש- $BD\parallel LC$ . המיתרים $AL$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $E$ (ראה ציור).

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (2)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו (שאלה קצרה · קשה)
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ ו- $D$ נמצאות על מעגל. המיתרים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $E$ (ראו סרטוט). נתון: $AB=AE$ .
גאומטריה אוקלידית וגאומטריה אנליטית (שאלה קצרה · קלה)
במעגל המיתרים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $E$ , ונתון $BE=AE$ .