מבחן לדוגמה: משולש חוסם מעגל (המעגל החסום) - כיתה י"א 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

משולש חוסם מעגל (המעגל החסום)

4 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: חישובים בזווית נתונהשאלה מלאה · קלה

במשולש שווה שוקיים ABCABCABC (AC=ABAC=ABAC=AB) חסום מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 2. נתון: ∠ACB=70∘\angle ACB=70^\circ∠ACB=70∘. המעגל חותך את הקטע BOBOBO בנקודה KKK (ראו סרטוט).
ABCOK

א.

חשבו את אורך הקטע COCOCO.

ב.

חשבו את אורך השוק ACACAC.

ג.

מצאו את גודל הזווית COBCOBCOB, וחשבו את אורך הקטע CKCKCK.

ד.

הנקודה EEE נמצאת על הצלע CBCBCB, ושטח המשולש CKECKECKE הוא 2.

חשבו את אורך הקטע BEBEBE.

שאלה 2 · מרחק בין מרכז המעגל החסום למרכז המעגל החוסם במשולש ישר זוויתשאלה קצרה · בינונית

במשולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘) אורכי הניצבים הם AB=5AB=5AB=5, BC=12BC=12BC=12. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש, והנקודה E היא מרכז המעגל החוסם אותו.

א.

מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

ב.

חשבו את המרחק ME.

שאלה 3 · משולש עם זווית קהה קבועה: שטח המשולש שבין שני קודקודים למרכז המעגל החסוםשאלה מלאה · קשה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו RRR. נתון: ∠ABC=120°\angle ABC=120°∠ABC=120°. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
ABCO

א.

הוכיחו שגודל הזווית AOCAOCAOC אינו תלוי ב-α\alphaα, ומצאו אותו.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש AOCAOCAOC.

ג.

מצאו את α\alphaα שעבורו שטח המשולש AOCAOCAOC מקסימלי, והביעו את השטח המקסימלי באמצעות RRR.

ד.

נתון: R=4R=4R=4.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שעבורם שטח המשולש AOCAOCAOC הוא 2.

שאלה 4 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 ללא שארית.

(2)

מצאו את כל המספרים השלמים ppp שבעבורם הביטוי 5n+1+p5^{n+1}+p5n+1+p מתחלק ב-20 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+kx)3f(x)=\left(x+\frac kx\right)^3f(x)=(x+xk​)3, כאשר k≠0k\ne0k=0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו לאילו ערכי kkk יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון. נמקו.

נתון: f′′(x)=6(x2+k)(x4−kx2+2k2)x5f''(x)=\frac{6(x^2+k)(x^4-kx^2+2k^2)}{x^5}f′′(x)=x56(x2+k)(x4−kx2+2k2)​.

(2)

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

מצאו את כל הערכים של ttt בתחום 0<t≤80<t\le80<t≤8 שבעבורם h(t)=0h(t)=0h(t)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של h(t)h(t)h(t) בתחום 0≤t≤80\le t\le80≤t≤8.

ד.

המעגל החסום במשולש DEF משיק לצלעות EF, DF ו-DE בנקודות A, B ו-C בהתאמה (ראו סרטוט). נסמן: ∠EDF=δ\angle EDF=\delta∠EDF=δ, ∠DEF=ε\angle DEF=\varepsilon∠DEF=ε.
ABCDEF

(1)

הביעו באמצעות δ\deltaδ ו-ε\varepsilonε את זוויות המשולש ABC.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC חד-זווית, יהיה המשולש DEF אשר יהיה.

שאלה 1 · משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: חישובים בזווית נתונהשאלה מלאה · קלה

שאלה 2 · מרחק בין מרכז המעגל החסום למרכז המעגל החוסם במשולש ישר זוויתשאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · משולש עם זווית קהה קבועה: שטח המשולש שבין שני קודקודים למרכז המעגל החסוםשאלה מלאה · קשה

שאלה 4 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד