שאלות פתוחות: משולש חוסם מעגל (המעגל החסום) - כיתה י"א 5 יח"ל

מעגל החסום במשולש ומרכזו: שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוצאים את מרכז המעגל החסום במשולש שבתוך מלבן חסום, במרובע שבו DA=DC וזווית של 120°, ובמשולש שווה-שוקיים עם זווית בסיס של 70°, ומחשבים מרחקים ואורכים בעזרת הרדיוס. יש גם שאלה על משולש שבו זווית של 120°. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מתאים לחזרה על מעגל חסום בבעיות מורכבות; בוחרים שאלות לבוחן או לדף עבודה עם פתרון מלא ובקובץ Word.

13 שאלותקלה: 3בינונית: 7קשה: 3

שאלה 1 · מלבן חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: חישובים מספרייםשאלה מלאה · קלה

מלבן ABCDABCDABCD חסום במעגל שמרכזו MMM ורדיוסו 6. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נתון: ∠CAB=40°\angle CAB=40°∠CAB=40°.
ABCDMO

א.

הסבירו מדוע האלכסון ACACAC הוא קוטר במעגל, ומצאו את זוויות המשולש AOCAOCAOC.

ב.

חשבו את אורך הקטע AOAOAO.

ג.

חשבו את שטח המלבן.

ד.

חשבו את המרחק MOMOMO בין מרכז המעגל החוסם את המלבן לבין מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC.

שאלה 2 · מרובע חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: משפט הסינוסים, שטח ומרחק בין מרכזיםשאלה מלאה · בינונית

מרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל שרדיוסו RRR. נתון: DA=DCDA=DCDA=DC ו-∠ADC=120°\angle ADC=120°∠ADC=120°. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נסמן: ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α.
ABCDO

א.

(1)

מצאו את זוויות המשולש AOCAOCAOC (הביעו באמצעות α\alphaα במידת הצורך).

(2)

הביעו את אורך הקטע AOAOAO באמצעות α\alphaα ו-RRR.

ב.

נתון כי AO=1.2RAO=1.2RAO=1.2R.

מצאו את גודל הזווית α\alphaα.

ג.

נתון כי שטח המרובע ABCDABCDABCD הוא 40.86 (בקירוב).

מצאו את RRR.

ד.

חשבו את המרחק בין מרכז המעגל החוסם את המרובע לבין מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC.

שאלה 3 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 ללא שארית.

(2)

מצאו את כל המספרים השלמים ppp שבעבורם הביטוי 5n+1+p5^{n+1}+p5n+1+p מתחלק ב-20 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+kx)3f(x)=\left(x+\frac kx\right)^3f(x)=(x+xk​)3, כאשר k≠0k\ne0k=0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו לאילו ערכי kkk יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון. נמקו.

נתון: f′′(x)=6(x2+k)(x4−kx2+2k2)x5f''(x)=\frac{6(x^2+k)(x^4-kx^2+2k^2)}{x^5}f′′(x)=x56(x2+k)(x4−kx2+2k2)​.

(2)

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

מצאו את כל הערכים של ttt בתחום 0<t≤80<t\le80<t≤8 שבעבורם h(t)=0h(t)=0h(t)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של h(t)h(t)h(t) בתחום 0≤t≤80\le t\le80≤t≤8.

ד.

המעגל החסום במשולש DEF משיק לצלעות EF, DF ו-DE בנקודות A, B ו-C בהתאמה (ראו סרטוט). נסמן: ∠EDF=δ\angle EDF=\delta∠EDF=δ, ∠DEF=ε\angle DEF=\varepsilon∠DEF=ε.
ABCDEF

(1)

הביעו באמצעות δ\deltaδ ו-ε\varepsilonε את זוויות המשולש ABC.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC חד-זווית, יהיה המשולש DEF אשר יהיה.

שאלה 4 · משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: חישובים בזווית נתונהשאלה מלאה · קלה

במשולש שווה שוקיים ABCABCABC (AC=ABAC=ABAC=AB) חסום מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 2. נתון: ∠ACB=70∘\angle ACB=70^\circ∠ACB=70∘. המעגל חותך את הקטע BOBOBO בנקודה KKK (ראו סרטוט).
ABCOK

א.

חשבו את אורך הקטע COCOCO.

ב.

חשבו את אורך השוק ACACAC.

ג.

מצאו את גודל הזווית COBCOBCOB, וחשבו את אורך הקטע CKCKCK.

ד.

הנקודה EEE נמצאת על הצלע CBCBCB, ושטח המשולש CKECKECKE הוא 2.

חשבו את אורך הקטע BEBEBE.

שאלה 5 · משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: המרחק מהקודקוד, זווית כפולה בצורת סינוס ומשפט הקוסינוסיםשאלה מלאה · בינונית

במשולש שווה שוקיים ABCABCABC (AC=ABAC=ABAC=AB) חסום מעגל שמרכזו בנקודה OOO ורדיוסו rrr (ראו סרטוט). נסמן: ∠ACB=2α\angle ACB=2\alpha∠ACB=2α.
ABCO

א.

(1)

הביעו באמצעות rrr ו-α\alphaα את אורך הקטע AOAOAO.

(2)

הביעו באמצעות rrr ו-α\alphaα את אורך הבסיס BCBCBC.

ב.

נתון כי אורך הקטע BOBOBO גדול פי 73\frac7337​ מאורך הקטע AOAOAO.

מצאו את sin⁡α\sin\alphasinα ואת α\alphaα.

הציבו sin⁡α=13\sin\alpha=\frac13sinα=31​ וענו על הסעיפים ג-ד. המעגל חותך את הקטע BOBOBO בנקודה KKK. נתון כי אורך הקטע CKCKCK הוא 33\sqrt{33}33​.

ג.

מצאו את הערך של rrr.

ד.

הנקודה EEE נמצאת על הצלע CBCBCB. נתון כי שטח המשולש CKECKECKE הוא 2.

חשבו את אורך הקטע BEBEBE.

שאלה 6 · משולש עם זווית קהה קבועה: שטח המשולש שבין שני קודקודים למרכז המעגל החסוםשאלה מלאה · קשה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו RRR. נתון: ∠ABC=120°\angle ABC=120°∠ABC=120°. הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABCABC (ראו סרטוט). נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
ABCO

א.

הוכיחו שגודל הזווית AOCAOCAOC אינו תלוי ב-α\alphaα, ומצאו אותו.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש AOCAOCAOC.

ג.

מצאו את α\alphaα שעבורו שטח המשולש AOCAOCAOC מקסימלי, והביעו את השטח המקסימלי באמצעות RRR.

ד.

נתון: R=4R=4R=4.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שעבורם שטח המשולש AOCAOCAOC הוא 2.

שאלה 7 · משולש ישר זווית ומשולש צמוד בנתונים מספריים: משפט הקוסינוסים ומרחק בין מרכזי המעגלים (מודרך)שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘), ובו AB=6AB=6AB=6. על הצלע AC בנו משולש ACD כך ש-AC חוצה את הזווית BAD. נסמן ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α. נתון: AD=5AD=5AD=5, CD=65CD=\sqrt{65}CD=65​.
BACD

א.

הראו כי AC=6cos⁡αAC=\frac{6}{\cos\alpha}AC=cosα6​.

ב.

היעזרו במשולש ACD ובמשפט הקוסינוסים, ומצאו את cos⁡α\cos\alphacosα ואת α\alphaα.

ג.

מצאו את אורכי הצלעות AC ו-BC, ואת רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.

ד.

הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC, והנקודה E היא מרכז המעגל החוסם אותו. T היא נקודת ההשקה של המעגל החסום עם הצלע AC. מצאו את האורך ET, וחשבו את המרחק ME.

שאלה 8 · משולש ישר זווית ומשולש צמוד: משפט הקוסינוסים, מעגל חסום ומרחק בין מרכזי המעגלים (משולש 3-4-5)שאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש-AC הוא חוצה זווית BAD. נסמן: ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α, AB=kAB=kAB=k.
BACD

א.

הביעו באמצעות kkk ו-α\alphaα את האורך של AC.

ב.

נתון: CD=354⋅kCD=\frac{3\sqrt5}{4}\cdot kCD=435​​⋅k, AD=2.5⋅kAD=2.5\cdot kAD=2.5⋅k.

חשבו את הערך של α\alphaα.

הציבו cos⁡α=0.8\cos\alpha=0.8cosα=0.8 וענו על סעיפים ג-ד. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC.

ג.

הביעו באמצעות kkk את רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.

ד.

הנקודה E היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC. נתון: ME=10ME=\sqrt{10}ME=10​.

חשבו את הערך של kkk.

שאלה 9 · מרחק בין מרכז המעגל החסום למרכז המעגל החוסם במשולש ישר זווית: מינימום ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

במשולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘) אורך היתר הוא AC=dAC=dAC=d. נסמן ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש, והנקודה E היא מרכז המעגל החוסם אותו (ראו סרטוט).
BACME

א.

הביעו באמצעות ddd ו-α\alphaα את רדיוס המעגל החסום במשולש.

ב.

הביעו באמצעות ddd ו-α\alphaα את המרחק ME.

ג.

מצאו את הזווית α\alphaα שבעבורה המרחק ME הוא הקטן ביותר, ואת המרחק הזה. היכן נמצאת הנקודה E ביחס למעגל החסום במקרה זה?

ד.

נתון: ME=d23−6ME=\frac d2\sqrt{3-\sqrt6}ME=2d​3−6​​. מצאו את כל הערכים האפשריים של α\alphaα.

שאלה 10 · מרחק בין מרכז המעגל החסום למרכז המעגל החוסם במשולש ישר זוויתשאלה קצרה · בינונית

במשולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘) אורכי הניצבים הם AB=5AB=5AB=5, BC=12BC=12BC=12. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש, והנקודה E היא מרכז המעגל החוסם אותו.

א.

מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

ב.

חשבו את המרחק ME.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

דלתון חסום במעגל ומרכז המעגל החסום במשולש: משפט הסינוסים, שטח ומרחק בין מרכזים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 5
דלתון $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . המיתר $AC$ הוא האלכסון הראשי של הדלתון. הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: הבעה בעזרת זווית, משוואה עם זווית כפולה ומשפט הקוסינוסים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 5
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB=2\alpha$ .
משולש ישר זווית ומשולש צמוד: משפט הקוסינוסים, מעגל חסום ומרחק בין מרכזי המעגלים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש-AC הוא חוצה זווית BAD. נסמן: $\angle CAB=\alpha$ , $AB=k$ .