מבחן לדוגמה: שני משיקים היוצאים מנקודה אחת - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}=2^n-1$

מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ מעבירים שני משיקים למעגל. המשיקים נוגעים במעגל בנקודות A ו-B (ראו סרטוט).

נתונות הפונקציות: $f(x)=\sqrt{x^2(x+3)}$, $k(x)=x\sqrt{x+3}$.

לפניכם גרף של פונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x\neq0$. הישרים $x=0$ ו-$y=0$ הם אסימפטוטות של $f(x)$, $f(x)>0$ בכל תחום הגדרתה, ו-$f(x)$ קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה.

הוכיחו כי $AB\perp MN$.

חשבו את אורך המיתר $AB$.

בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$. דרך הנקודות $A$ ו-$E$ שעל המעגל העבירו שני משיקים, והזווית ביניהם היא $120^\circ$. המשיקים נחתכים בנקודה $K$. הקטע $KO$ חותך את המעגל בנקודה $B$.

במפעל מייצרים פריטים משלושה סוגים: פריט מסוג א', פריט מסוג ב' ופריט פגום. ההסתברות שפריט יהיה מסוג ב' קבועה וגדולה פי 3 מן ההסתברות שהוא יהיה פגום. נסמן ב-$p$ את ההסתברות שפריט יהיה פגום. בודקים שני פריטים שנבחרו באקראי; הסוגים של פריטים שונים בלתי תלויים זה בזה.

נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{25-x^2}-\sqrt{x^2-9}$.

נתונה סדרה אין-סופית שאיבריה מקיימים: $a_n=\frac{2\cos(\pi n)}{3^n}$ לכל $n$ טבעי.

הביעו את $BC$ באמצעות $R$ ו-$r$.

הביעו את היחס $\frac{AB}{AC}$ באמצעות $R$ ו-$r$.

נתון: $\sphericalangle ABC=30^\circ$, $BC=8$.

מצאו את $R$ ואת $r$.

הוכיחו כי לכל שני מעגלים בתצורה הזו (עם $R>r$) מתקיים $\sphericalangle ABC<45^\circ$.