שאלות פתוחות: שני משיקים היוצאים מנקודה אחת - כיתה י"א 5 יח"ל

שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים את הרדיוס ומרחקים במעגל כשנתונים אורך המשיק MA=15 ואורך המיתר AB=24, מטפלים בשני משיקים מנקודה A עם נקודה E על המעגל, ופותרים בעיות על שני מעגלים משיקים מבחוץ ומשיק משותף. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. אפשר להשתמש בשאלות לחזרה, לבוחן או לדף עבודה, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא שאפשר לייצא ל-Word.

29 שאלותקלה: 4בינונית: 20קשה: 5

שאלה 1 · שני מעגלים משיקים: קטעי משיקים, זווית ישרה ורדיוס - מודרךשאלה מלאה · קלה

שני מעגלים משיקים זה לזה מבחוץ בנקודה AAA (ראו סרטוט). הנקודה OOO היא מרכז המעגל השמאלי. מעבירים בנקודה AAA משיק משותף לשני המעגלים. BBB ו-CCC הן נקודות ההשקה של ישר נוסף שמשיק לשני המעגלים. שני המשיקים נחתכים בנקודה MMM.
OABMC

א.

הוכיחו כי MB=MA=MCMB=MA=MCMB=MA=MC.

ב.

הוכיחו כי ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ∢BAC=90∘.

ג.

נתון: AB=12AB=12AB=12, AC=5AC=5AC=5.

חשבו את BCBCBC ואת AMAMAM.

ד.

(1)

הסבירו מדוע OM⊥ABOM\perp ABOM⊥AB, ונסמן ב-NNN את נקודת החיתוך של OMOMOM ו-ABABAB. חשבו את MNMNMN.

(2)

חשבו את רדיוס המעגל שמרכזו OOO.

שאלה 2 · שני מעגלים משיקים: הזווית בין המרכזים, רדיוס ויחס שטחיםשאלה מלאה · בינונית

שני מעגלים משיקים זה לזה מבחוץ בנקודה AAA (ראו סרטוט). OOO הוא מרכז המעגל השמאלי ו-QQQ הוא מרכז המעגל הימני. מעבירים בנקודה AAA משיק משותף לשני המעגלים. BBB ו-CCC הן נקודות ההשקה של ישר נוסף שמשיק לשני המעגלים (BBB על המעגל שמרכזו OOO). שני המשיקים נחתכים בנקודה MMM.
OABMCQ

א.

הוכיחו כי הזווית ∢OMQ\sphericalangle OMQ∢OMQ ישרה.

ב.

הוכיחו כי: AM2=OA⋅AQAM^2=OA\cdot AQAM2=OA⋅AQ.

ג.

נתון: BC=12BC=12BC=12, ורדיוס המעגל שמרכזו QQQ הוא 4.

חשבו את רדיוס המעגל שמרכזו הוא בנקודה OOO.

ד.

חשבו את יחס השטחים: SΔOBMSΔAMC\frac{S_{\Delta OBM}}{S_{\Delta AMC}}SΔAMC​SΔOBM​​.

שאלה 3 · שני מעגלים משיקים ברדיוסים R ו-r: אורך המשיק המשותף, יחס מיתרים וזוויתשאלה מלאה · קשה

שני מעגלים משיקים זה לזה מבחוץ בנקודה AAA. OOO הוא מרכז המעגל השמאלי ורדיוסו RRR, ו-QQQ הוא מרכז המעגל הימני ורדיוסו rrr, כאשר R>rR>rR>r. המשיק המשותף בנקודה AAA חותך בנקודה MMM את הישר שמשיק לשני המעגלים בנקודות BBB (על המעגל שמרכזו OOO) ו-CCC.
OABMCQ

א.

הביעו את BCBCBC באמצעות RRR ו-rrr.

ב.

הביעו את היחס ABAC\frac{AB}{AC}ACAB​ באמצעות RRR ו-rrr.

ג.

נתון: ∢ABC=30∘\sphericalangle ABC=30^\circ∢ABC=30∘, BC=8BC=8BC=8.

מצאו את RRR ואת rrr.

ד.

הוכיחו כי לכל שני מעגלים בתצורה הזו (עם R>rR>rR>r) מתקיים ∢ABC<45∘\sphericalangle ABC<45^\circ∢ABC<45∘.

שאלה 4 · שאלות קצרות בשלבים: אינדוקציה, משיקים, פונקציות שורש וגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1+2+22+…+2n−1=2n−11+2+2^2+\ldots+2^{n-1}=2^n-11+2+22+…+2n−1=2n−1

ב.

מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR מעבירים שני משיקים למעגל. המשיקים נוגעים במעגל בנקודות A ו-B (ראו סרטוט).
POAB

(1)

הוכיחו כי המרובע OAPB הוא בר חסימה במעגל.

(2)

נתון: PA=2RPA=2RPA=2R. הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את המרובע OAPB.

ג.

נתונות הפונקציות: f(x)=x2(x+3)f(x)=\sqrt{x^2(x+3)}f(x)=x2(x+3)​, k(x)=xx+3k(x)=x\sqrt{x+3}k(x)=xx+3​.

(1)

הראו כי f(x)=∣x∣x+3f(x)=|x|\sqrt{x+3}f(x)=∣x∣x+3​, ומצאו לכל אחת מהפונקציות fff ו-kkk את תחום ההגדרה ואת התחומים שבהם היא חיובית ושבהם היא שלילית.

לפניכם שני גרפים I ו-II.
גרף I
גרף II

(2)

קבעו איזה מן הגרפים מתאר את f(x)f(x)f(x) ואיזה מתאר את k(x)k(x)k(x). נמקו.

ד.

לפניכם גרף של פונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל x≠0x\neq0x=0. הישרים x=0x=0x=0 ו-y=0y=0y=0 הם אסימפטוטות של f(x)f(x)f(x), f(x)>0f(x)>0f(x)>0 בכל תחום הגדרתה, ו-f(x)f(x)f(x) קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה.
f(x)

(1)

קבעו באילו תחומים f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 ובאילו f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0. נמקו.

(2)

האם f′(x)f'(x)f′(x) עולה או יורדת בכל אחד מהתחומים x<0x<0x<0 ו-x>0x>0x>0? נמקו.

(3)

קבעו איזה מן המספרים גדול יותר: ∫12f(x)dx\int_1^2f(x)dx∫12​f(x)dx או ∫23f(x)dx\int_2^3f(x)dx∫23​f(x)dx, וקבעו את הסימן של ∫12f′(x)dx\int_1^2f'(x)dx∫12​f′(x)dx. נמקו.

שאלה 5 · שני משיקים מנקודה: רדיוס מתוך אורך המשיק ומיתר ההשקהשאלה קצרה · בינונית

מהנקודה MMM מעבירים שני משיקים למעגל שמרכזו OOO. נקודות ההשקה הן AAA ו-BBB. נתון: MA=15MA=15MA=15, AB=24AB=24AB=24.
OMAB

א.

חשבו את רדיוס המעגל.

ב.

חשבו את המרחק של מרכז המעגל מהמיתר ABABAB.

שאלה 6 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 ללא שארית.

(2)

מצאו את כל המספרים השלמים ppp שבעבורם הביטוי 5n+1+p5^{n+1}+p5n+1+p מתחלק ב-20 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+kx)3f(x)=\left(x+\frac kx\right)^3f(x)=(x+xk​)3, כאשר k≠0k\ne0k=0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו לאילו ערכי kkk יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון. נמקו.

נתון: f′′(x)=6(x2+k)(x4−kx2+2k2)x5f''(x)=\frac{6(x^2+k)(x^4-kx^2+2k^2)}{x^5}f′′(x)=x56(x2+k)(x4−kx2+2k2)​.

(2)

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

מצאו את כל הערכים של ttt בתחום 0<t≤80<t\le80<t≤8 שבעבורם h(t)=0h(t)=0h(t)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של h(t)h(t)h(t) בתחום 0≤t≤80\le t\le80≤t≤8.

ד.

המעגל החסום במשולש DEF משיק לצלעות EF, DF ו-DE בנקודות A, B ו-C בהתאמה (ראו סרטוט). נסמן: ∠EDF=δ\angle EDF=\delta∠EDF=δ, ∠DEF=ε\angle DEF=\varepsilon∠DEF=ε.
ABCDEF

(1)

הביעו באמצעות δ\deltaδ ו-ε\varepsilonε את זוויות המשולש ABC.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC חד-זווית, יהיה המשולש DEF אשר יהיה.

שאלה 7 · משיקים למעגל מנקודה: צלע בעזרת $sin 2 β$ , שטח וצלע שלישית - בהדרכהשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, והנקודה C נמצאת על המשך AE כך ש-CE=2AECE=2AECE=2AE (ראו סרטוט). נתון: BO⊥AOBO\perp AOBO⊥AO. נסמן ב-2β2\beta2β את הזווית BAC.
ABCEO

א.

הראו כי AO=Rsin⁡βAO=\frac{R}{\sin\beta}AO=sinβR​, והראו כי AB=2Rsin⁡2βAB=\frac{2R}{\sin2\beta}AB=sin2β2R​.

ב.

נתון כי AB=136RAB=\frac{13}{6}RAB=613​R, והזווית BAC היא זווית חדה.

מצאו את sin⁡2β\sin2\betasin2β ואת cos⁡2β\cos2\betacos2β, ומצאו את β\betaβ.

ג.

הראו כי tan⁡β=23\tan\beta=\frac23tanβ=32​, והביעו באמצעות RRR את AE, את AC ואת שטח המשולש ABC.

ד.

נתון: R=6R=6R=6.

מצאו את אורך הצלע BC.

שאלה 8 · קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמיםשאלה מלאה · בינונית

ABABAB הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO, כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: RRR.
המשיק למעגל בנקודה BBB והמשך המיתר ACACAC נחתכים בנקודה DDD. המשיק למעגל בנקודה CCC חותך את BDBDBD בנקודה MMM. הקטע OMOMOM והמיתר BCBCBC נחתכים בנקודה NNN. הקטע CFCFCF מאונך ל-BDBDBD (FFF על BDBDBD).
נסמן: ∢ADB=α\sphericalangle ADB=\alpha∢ADB=α.
ABODCMNF

א.

(1)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBMCOBMCOBMC.

(2)

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע CNFMCNFMCNFM.

ב.

נסמן: d1d_1d1​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע OBMCOBMCOBMC. d2d_2d2​ הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע CNFMCNFMCNFM. d3d_3d3​ הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש CMDCMDCMD.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את d1d_1d1​, את d2d_2d2​ ואת d3d_3d3​.

ג.

מצאו את הערך של α\alphaα שבעבורו מתקיים: d2d1=d1d3\frac{d_2}{d_1}=\frac{d_1}{d_3}d1​d2​​=d3​d1​​.

שאלה 9 · משיקים למעגל מנקודה: יחס שטחים כפונקציה של $cos 2 β$ ומתי זווית B ישרהשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל (ראו סרטוט). נתון: BO⊥AOBO\perp AOBO⊥AO, AE=CEAE=CEAE=CE. נסמן ב-2β2\beta2β את הזווית BAC, כאשר β\betaβ אינה נתונה.
ABCEO

א.

הביעו באמצעות RRR ו-β\betaβ את האורכים של AB ושל AC.

ב.

הביעו את היחס S△ABCS△AOB\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AOB}}S△AOB​S△ABC​​ באמצעות cos⁡2β\cos2\betacos2β בלבד, ומצאו את כל הערכים שהיחס הזה יכול לקבל.

ג.

מצאו את β\betaβ שבעבורה הזווית ABC ישרה, ומצאו את היחס S△ABCS△AOB\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AOB}}S△AOB​S△ABC​​ עבור β\betaβ זו.

ד.

נתון כי S△ABC=3S△AOBS_{\triangle ABC}=3S_{\triangle AOB}S△ABC​=3S△AOB​, ורדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC הוא 272\sqrt727​.

מצאו את RRR.

שאלה 10 · משיקים וקוטר במעגל: זוויות ואורך משיק במספריםשאלה מלאה · קלה

במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, AFAFAF הוא קוטר ו-BBB נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה BBB והמשיק למעגל בנקודה FFF נפגשים בנקודה EEE.
נתון: ∠BAF=α\angle BAF=\alpha∠BAF=α.
αABEFO

א.

הסבירו מדוע ∠ABF=90∘\angle ABF=90^\circ∠ABF=90∘, והביעו באמצעות α\alphaα את ∠AFB\angle AFB∠AFB.

ב.

היעזרו במשפט על הזווית שבין משיק למיתר, והביעו באמצעות α\alphaα את ∠EBF\angle EBF∠EBF, את ∠EFB\angle EFB∠EFB ואת ∠BEF\angle BEF∠BEF.

ג.

מעבירים את הקטע OEOEOE. הסבירו מדוע ∠EOF=α\angle EOF=\alpha∠EOF=α, וחשבו את אורך BEBEBE עבור R=6R=6R=6 ו-α=20∘\alpha=20^\circα=20∘.

ד.

עבור R=6R=6R=6 ו-α=20∘\alpha=20^\circα=20∘, חשבו את שטח המשולש BEFBEFBEF.

עוד 12 שאלות על שני משיקים היוצאים מנקודה אחת

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שני משיקים מנקודה: דלתון ואורך מיתר ההשקה (שאלה קצרה · בינונית)
מן הנקודה $M$ מעבירים שני משיקים למעגל שמרכזו $N$ ורדיוסו 8. נקודות ההשקה הן $A$ ו- $B$ . נתון: $MN=17$ .
משיקים ממעגל ושלושה אנכים: אי-שוויון ומציאת הרדיוס (שאלה מלאה · קשה)
מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ . $D$ נקודה על הקשת הקטנה $BC$ . $E$ , $F$ ו- $G$ הם עקבי האנכים מ- $D$ …
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משולש המשיקים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $3^{2n}-1$ מתחלק ב-8 ללא שארית.
משיקים וקוטר במעגל: יחס שטחים כפונקציה של הזווית ומתי BEDC מקבילית (שאלה מלאה · קשה)
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . $AF$ הוא קוטר במעגל, והמשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . המשיק ב- $F$ חותך את המשיק למעגל ב- $B$ …
משיק, חותך דרך המרכז ומשיק בקצה הקוטר: זוויות, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את…
משיק בקצה הקרוב של הקוטר: אורכים בפרמטר, F אינה אמצע, בעיה הפוכה ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך O וחותך את המעגל…
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac{2A}3+\frac{2A}{3^2}+\ldots+\frac{2A}{3^n}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)$
שני מעגלים נחתכים: שני משיקים, זווית היקפית על קוטר, דמיון ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $r$ . הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודות A ו-B הן נקודות החיתוך של…
משיקים למעגל מנקודה ומשולש שווה-שוקיים: צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר…
מעגל, שני משיקים ומקבילים: תאלס הפוך, זווית מרכזית והיקפית, דמיון ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $AM$ …
שאלות קצרות: משיקים בזווית $12 0^{\circ}$ ויחס שטחים, פרמטר בהסתברות של פריטים במפעל, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (πn)$ (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AOB$ משטח המשולש $AKB$ .
שני משיקים שנפגשים על המשך הקוטר: זוויות, אורך משיק ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . $AF$ הוא קוטר במעגל, והמשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . המשיקים למעגל בנקודות $B$ ו- $C$ נפגשים…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני מעגלים משיקים: משיק משותף פנימי וחיצוני, רדיוס ויחס שטחים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 4
שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה $A$ (ראו סרטוט). הנקודה $O$ היא מרכז המעגל השמאלי. מעבירים בנקודה $A$ משיק משותף לשני המעגלים. $B$ ו- $C$ הן נקודות ההשקה של ישר…
שני משיקים למעגל: מרובעים ברי-חסימה, קוטרי מעגלים חוסמים ומשוואה עם זווית כפולה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
$DB$ ו- $DC$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשך $BD$ חותך את המשך $OC$ בנקודה $A$ . הקטע $OD$ והמיתר $BC$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $CE$ …
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משיקים למעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $4^n-1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac A2+\frac A{2^2}+\ldots+\frac A{2^n}=A\left(1-\frac1{2^n}\right)$
משיקים למעגל מנקודה: הבעת צלע בעזרת $sin 2 β$ , יחס שטחים ורדיוס המעגל החוסם · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו-AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר בסרטוט. נתון:…
משיקים וקוטר במעגל: זוויות, אורך משיק ויחס שטחים · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במעגל שרדיוסו $R$ חסום משולש $ABC$ . ידוע כי: $AF$ הוא קוטר במעגל. המשיק למעגל בנקודה $F$ מקביל למיתר $BC$ . הנקודה $E$ היא נקודת החיתוך של המשיק למעגל ב- $F$ עם…
מעגלים משיקים מבפנים: משיקים מהמרכז, דלתון, דמיון וחישוב אורך · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 4
שני מעגלים משיקים זה לזה מבפנים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). מרכזי המעגלים הם הנקודות $M$ ו- $N$ , והרדיוסים שלהם הם $R_1$ ו- $R_2$ בהתאמה, $R_2<R_1$ . מעבירים משיק…