מבחן לדוגמה: התיכון ליתר במשולש ישר-זווית והמשפט ההפוך - כיתה י"א 5 יח"ל

הראו כי $AC=\frac{6}{\cos\alpha}$.

היעזרו במשולש ACD ובמשפט הקוסינוסים, ומצאו את $\cos\alpha$ ואת $\alpha$.

מצאו את אורכי הצלעות AC ו-BC, ואת רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.

הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC, והנקודה E היא מרכז המעגל החוסם אותו. T היא נקודת ההשקה של המעגל החסום עם הצלע AC. מצאו את האורך ET, וחשבו את המרחק ME.

הוכיחו כי המרובע $ABCD$ בר חסימה במעגל, וכי $AC$ הוא קוטר של המעגל הזה.

נתון: $AB=6$, $BC=8$, $AD=2$. מצאו את אורך הצלע $CD$.

הוכיחו כי $\sphericalangle BAC=90^\circ$.

נתון: $AB=7$, $AC=24$. חשבו את $AM$ ואת שטח המשולש $AMC$.

הוכיחו כי $ME=CM$ וכי המרובע $ACDE$ בר חסימה במעגל.

הביעו את היחס $\frac{CD}{DB}$ בעזרת $\beta$.

מצאו את $\beta$ שעבורה ניתן לחסום מעגל במרובע $CMED$.

עבור $\beta$ שמצאתם, הוכיחו כי $CMED$ מעוין. נתון $AC=6$; מצאו את רדיוס המעגל החסום במרובע $CMED$.

הביעו באמצעות $k$, $\alpha$ ו-$n$ את אורכי הקטעים $BD$ ו-$AD$.

הביעו את $\tan\alpha$ באמצעות $n$.

הביעו באמצעות $k$ ו-$n$ את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AEC$.

האם ייתכן שרדיוס המעגל החוסם את המשולש $AEC$ שווה לאורך הצלע $AB$? נמקו.

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AEC$ הוא $\frac{3\sqrt2}{4}k$. מצאו את $n$.