מבחן לדוגמה: פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית - כיתה י"א 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית

4 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינוםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}31⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=3n(n+1)(n+2)​.

(2)

דנה טוענת כי 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n21\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=2n^21⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n2 לכל nnn טבעי. היעזרו בתת-סעיף (1), ומצאו את כל הערכים של nnn שבעבורם הטענה של דנה נכונה. האם הטענה נכונה לכל nnn טבעי?

ב.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הראו כי ∠AOB=2α\angle AOB=2\alpha∠AOB=2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הצלע AB.

נתון: α=30∘\alpha=30^\circα=30∘.

(2)

הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

ג.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה x=1x=1x=1, ו-f(2)=0f(2)=0f(2)=0.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת שיעור ה-xxx של נקודת המינימום של f(x)f(x)f(x), ורשמו את תחומי החיוביות והשליליות של f(x)f(x)f(x).

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המוגדרת לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה מקיימת: g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x).

(2)

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

נתון כי g(x)g(x)g(x) פונקציה זוגית, ו-g(2)=5g(2)=5g(2)=5.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות המקסימום של g(x)g(x)g(x), וקבעו אם g(0)g(0)g(0) גדול מ-5 או קטן מ-5. נמקו.

ד.

נתונה הפונקציה: f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6)f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)(x-6)f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6).

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx, ואת התחומים שבהם f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​. רשמו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), והסבירו מדוע לגרף g(x)g(x)g(x) אין נקודת חיתוך עם ציר ה-yyy.

נתון: ∫69g(x) dx=k\int_6^9g(x)\,dx=k∫69​g(x)dx=k.

(3)

הביעו באמצעות kkk את ∫47g(x+2) dx\int_4^7g(x+2)\,dx∫47​g(x+2)dx, ואת ∫47[g(x+2)+2]dx\int_4^7\left[g(x+2)+2\right]dx∫47​[g(x+2)+2]dx.

שאלה 2 · זוגיות של פונקציות שנבנות מפונקציה זוגיתשאלה קצרה · בינונית

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) אינה קבועה, מוגדרת לכל xxx והיא זוגית.

קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא זוגית, אי-זוגית, לא זוגית ולא אי-זוגית או שלא ניתן לקבוע. נמקו.
I. h(x)=−2f(x)h(x)=-2f(x)h(x)=−2f(x)
II. k(x)=f(x)+5k(x)=f(x)+5k(x)=f(x)+5
III. g(x)=f(x)+xg(x)=f(x)+xg(x)=f(x)+x

שאלה 3 · שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבוניתשאלה מלאה · בינונית

ענו על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים:

א.

לפניכם טענה:
אם ל-nnn טבעי מסוים 5n+35^n+35n+3 מתחלק ב-4 ללא שארית, אז גם 5n+1+35^{n+1}+35n+1+3 מתחלק ב-4 ללא שארית.
רונית אומרת: הטענה שלמעלה מספיקה כדי להוכיח שהביטוי 5n+35^n+35n+3 מתחלק ב-4 ללא שארית לכל nnn טבעי.
האם רונית צודקת? נמקו את תשובתכם.

ב.

נתונה פונקציה אי-זוגית שגזירה בכל נקודה.
לפניכם טענה: "פונקציית הנגזרת של הפונקציה הנתונה היא אי-זוגית".
קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. אם הטענה נכונה - הוכיחו אותה, אם לא - הציגו דוגמה נגדית.

ג.

לפניכם גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת בתחום 0.8≤x≤5.60.8\le x\le5.60.8≤x≤5.6.
0123456-2246810
נגדיר: F(a)=∫1af(x) dxF(a)=\int_{1}^{a}f(x)\,dxF(a)=∫1a​f(x)dx, a>1a>1a>1.

(1)

האם F(2)F(2)F(2) חיובי או שלילי? נמקו.

(2)

תנו דוגמה לערך של aaa שבו הפונקציה F(a)F(a)F(a) עולה.

(3)

באיזה ערך של aaa יש לפונקציה F(a)F(a)F(a) מינימום? נמקו.

ד.

נתונה סדרה חשבונית ובה 2n+12n+12n+1 איברים (n≥2n\ge2n≥2). הפרש הסדרה הוא ddd.

(1)

הוכיחו כי האיבר השני, האיבר האמצעי והאיבר שלפני האחרון של הסדרה הנתונה מהווים סדרה חשבונית.

(2)

הביעו את הפרש הסדרה של שלושת האיברים מסעיף ד(1) באמצעות nnn ו-ddd.

שאלה 4 · g'=-f כש-f זוגית: זוגיות של g, קיצון ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל xxx:
(0,-2)(2,-6)(4,0)
(בסרטוט: f(0)=−2f(0)=-2f(0)=−2, נקודת המינימום (2,−6)(2,-6)(2,−6), ו-f(4)=0f(4)=0f(4)=0; לכל x>2x>2x>2 הפונקציה עולה ו-lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x\to\infty}f(x)=\inftylimx→∞​f(x)=∞.)
השטח הכלוא בין הגרף של fff לבין ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤40\le x\le40≤x≤4 הוא 16.
הפונקציה g(x)g(x)g(x) מקיימת g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x) לכל xxx, ו-g(0)=0g(0)=0g(0)=0.

א.

קבעו אם ggg זוגית, אי-זוגית, או לא זה ולא זה. נמקו.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של ggg וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם למשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m יש בדיוק שלושה פתרונות.

ד.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של ggg.

שאלה 1 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינוםשאלה מלאה · קלה

שאלה 2 · זוגיות של פונקציות שנבנות מפונקציה זוגיתשאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבוניתשאלה מלאה · בינונית

שאלה 4 · g'=-f כש-f זוגית: זוגיות של g, קיצון ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד