מבחן לדוגמה: הפונקציה 1/f(x): הקשר בין הגרפים, אפסים ואסימפטוטות - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הוכיחו כי $f(x)$ אי-זוגית.

הראו כי $f'(x)=\frac{36-6x^2}{x^4\sqrt{3x^2-12}}$, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה $\frac{1}{f(x)}$ המקבילות לצירים.

מצאו את נקודת הקיצון של $\frac{1}{f(x)}$ וקבעו את סוגה.

מצאו עבור אילו ערכים של $k$ יש לגרפים של $f(x)$ ו-$\frac1{f(x)}$ נקודות חיתוך, וכמה נקודות חיתוך יש להם אז.

הציבו $k=\frac34$, ומצאו את נקודות החיתוך של הגרפים.

מצאו את האסימפטוטות של $h(x)$ המאונכות לצירים.

מצאו את נקודת הקיצון של $h(x)$ וקבעו את סוגה.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:

בחניון של חברה יש מכוניות משני סוגים: מכוניות חשמליות ומכוניות בנזין. 35% מן המכוניות בחניון הן חשמליות והשאר מכוניות בנזין. 85% מן המכוניות בחניון הן לבנות והשאר בצבעים אחרים.

לפניכם שתי טענות I-II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם.

I. פחות מחמישית מן המכוניות בחניון הן מכוניות חשמליות לבנות.

II. ההסתברות לבחור באקראי מכונית חשמלית מבין המכוניות הלבנות גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי מכונית לבנה מבין המכוניות החשמליות.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y=0$, ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-$x$, ששיעוריה הם $(-2,0)$. שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר חיובי.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{-12x^2}{(x^3+1)^3}$, המוגדרת בתחום $x\ne-1$. בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ של גרף הפונקציה $f(x)$.

$g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$. הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne-1$. נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0,1)$.

נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$. הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$, $\angle B=a_2$, $\angle C=a_3$, $\angle D=a_4$, אז המרובע ABCD הוא טרפז.

נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ-30 קוביות המסודרות בצורת מלבן של $5\times6$ קוביות. הקומה שמעליה בנויה מ-20 קוביות המסודרות בצורת מלבן של $4\times5$ קוביות. וכך הלאה עד לקומה העליונה, שבה יש 2 קוביות ($1\times2$).

תוכלו להיעזר בנוסחה (לכל $n$ טבעי): $1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=\left[\sin(x+\pi)+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^2+4(\cos(-x))^2-3$ המוגדרת לכל $x$. האם לפונקציה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$? נמקו את תשובתכם.

הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה $h(x)$ שתחום ההגדרה שלה הוא: $x\neq2$, $x\neq5$. הישרים: $x=2$, $x=5$, $y=0$ הם אסימפטוטות של הפונקציה $h(x)$. הנקודה $D(0,-1)$ היא נקודת המינימום היחידה של הפונקציה $h(x)$, הנקודה $F(3.5,-0.5)$ היא נקודת המקסימום היחידה של הפונקציה $h(x)$, והנקודה $E(1,0)$ היא נקודת החיתוך היחידה של גרף הפונקציה $h(x)$ עם ציר ה-$x$.