שאלות פתוחות: הפונקציה 1/f(x): הקשר בין הגרפים, אפסים ואסימפטוטות - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הוכיחו כי $f(x)$ אי-זוגית.

הראו כי $f'(x)=\frac{36-6x^2}{x^4\sqrt{3x^2-12}}$, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$?

הוכיחו שהפונקציה $f(x)$ אי-זוגית.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה גם הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$.

ידוע כי בכל אחת מנקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$, יש לגרף של $f(x)$ ולגרף של $g(x)$ משיק משותף.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, קבעו אם היא זוגית או אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

מצאו, לכל ערך של $a$, את מספר נקודות המפגש של הגרפים של $f(x)$ ושל $g(x)$.

עבור הערך של $a$ שבעבורו יש לגרפים בדיוק שתי נקודות מפגש, מצאו את שיעורי נקודות המפגש, והראו שבכל אחת מהן יש לגרפים משיק משותף. מה משוואתו?

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הוכיחו כי הפונקציה $f(x)$ היא אי-זוגית.

נתונה הפונקציה $(f(x))^2$ שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $(f(x))^2$ וקבעו את סוגן.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$. תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הסתמכו על הסעיפים הקודמים וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

הציבו $a=1$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה $g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=2$ ו-$x=3$.

מצאו, בעזרת $m$, את כל הערכים של $c$ שעבורם למשוואה $\frac{1}{f(x)}=c$ יש בדיוק ארבעה פתרונות בתחום $-8<x<8$.

נתון כי $g'(x)=-f(x)$. מצאו את תחומי הקעירות של $g(x)$ ואת שיעורי ה-$x$ של נקודות הפיתול שלה בתחום $-8<x<8$.

הביעו בעזרת $m$ את השטח הכולל הכלוא בין הגרף של $g''(x)$ לבין ציר ה-$x$ בתחום $-8<x<8$.

נתון שהשטח בסעיף ג הוא $40$. מצאו את $m$, וקבעו כמה פתרונות יש למשוואה $g'(x)=-5$ בתחום $-8<x<8$.

נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$. הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$, $\angle B=a_2$, $\angle C=a_3$, $\angle D=a_4$, אז המרובע ABCD הוא טרפז.

נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ-30 קוביות המסודרות בצורת מלבן של $5\times6$ קוביות. הקומה שמעליה בנויה מ-20 קוביות המסודרות בצורת מלבן של $4\times5$ קוביות. וכך הלאה עד לקומה העליונה, שבה יש 2 קוביות ($1\times2$).

תוכלו להיעזר בנוסחה (לכל $n$ טבעי): $1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=\left[\sin(x+\pi)+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^2+4(\cos(-x))^2-3$ המוגדרת לכל $x$. האם לפונקציה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$? נמקו את תשובתכם.

הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה $h(x)$ שתחום ההגדרה שלה הוא: $x\neq2$, $x\neq5$. הישרים: $x=2$, $x=5$, $y=0$ הם אסימפטוטות של הפונקציה $h(x)$. הנקודה $D(0,-1)$ היא נקודת המינימום היחידה של הפונקציה $h(x)$, הנקודה $F(3.5,-0.5)$ היא נקודת המקסימום היחידה של הפונקציה $h(x)$, והנקודה $E(1,0)$ היא נקודת החיתוך היחידה של גרף הפונקציה $h(x)$ עם ציר ה-$x$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $\frac{1}{p(x)}$.

בכמה נקודות נפגשים הגרף של $p(x)$ והגרף של $\frac{1}{p(x)}$? נמקו את תשובתכם.

מצאו עבור אילו ערכים של $k$ יש לגרפים של $f(x)$ ו-$\frac1{f(x)}$ נקודות חיתוך, וכמה נקודות חיתוך יש להם אז.

הציבו $k=\frac34$, ומצאו את נקודות החיתוך של הגרפים.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי זוגית? נמקו את תשובתכם.

נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ משיק לישר $y=1$ בשתי נקודות.

מצאו את הערך של $a$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונות הפונקציה $g(x)=f(x)-k$ והפונקציה $h(x)=\frac{4}{g(x)}$, שתיהן בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$. $k$ הוא פרמטר, $k\ne5$, $k\ne1$.

מצאו את הערך של $k$ שבעבורו גרף הפונקציה $g(x)$ וגרף הפונקציה $h(x)$ נפגשים בכל אחת מנקודות הקיצון שלהן.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:

בחניון של חברה יש מכוניות משני סוגים: מכוניות חשמליות ומכוניות בנזין. 35% מן המכוניות בחניון הן חשמליות והשאר מכוניות בנזין. 85% מן המכוניות בחניון הן לבנות והשאר בצבעים אחרים.

לפניכם שתי טענות I-II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם.

I. פחות מחמישית מן המכוניות בחניון הן מכוניות חשמליות לבנות.

II. ההסתברות לבחור באקראי מכונית חשמלית מבין המכוניות הלבנות גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי מכונית לבנה מבין המכוניות החשמליות.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y=0$, ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה-$x$, ששיעוריה הם $(-2,0)$. שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר חיובי.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{-12x^2}{(x^3+1)^3}$, המוגדרת בתחום $x\ne-1$. בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ של גרף הפונקציה $f(x)$.

$g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$. הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne-1$. נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0,1)$.