מבחן לדוגמה: בעיות קיצון בגאומטריה אנליטית: משולש ומלבן בין גרף לצירים - כיתה י"א 5 יח"ל

הראו כי משוואת המשיק לגרף בנקודה B היא $y=(9t^2+32t+16)x-6t^3-16t^2$.

מצאו את תחום הערכים של $t$ שבעבורם B נמצאת ברביע השני.

נתון גם כי הנקודה C נמצאת מתחת לציר ה-$x$.

מצאו את תחום הערכים של $t$.

הראו כי שטח המשולש OBC הוא $S(t)=-3t^4-8t^3$, ומצאו את השטח המקסימלי.

הנקודה $P$ נמצאת על גרף הפונקציה $(f(x))^2$ המוגדרת גם היא בתחום: $0\le x\le6$. מהנקודה $P$ מעבירים ישר המאונך לציר ה-$x$. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה-$x$, ו-$O$ היא ראשית הצירים.

הראו כי שטח המשולש $PMO$ הוא $S(x)=\frac{a}{2}\left(x^3-6x^2\right)$, כאשר $x$ הוא שיעור ה-$x$ של $P$.

מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ובטאו את השטח המקסימלי באמצעות $a$.

ידוע כי $P$ נמצאת בתחום שבו $(f(x))^2$ אינה יורדת. מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ואת השטח הזה.

הביעו באמצעות $t$ את שטח המשולש OBP, ומצאו את תחום הערכים של $t$.

מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OBP.

הנקודה $P$ נמצאת על גרף הפונקציה $(f(x))^2$ המוגדרת גם היא בתחום: $0\le x\le2$. מהנקודה $P$ מעבירים ישר המאונך לציר ה-$x$. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה-$x$, ו-$O$ היא ראשית הצירים.

מהו שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ הוא מקסימלי? נמקו את תשובתכם.

בעבור שיעור ה-$x$ שמצאתם בסעיף ב, בטאו באמצעות $a$ את השטח המקסימלי של המשולש $PMO$.

אם ידוע כי שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ נמצא בתחום שבו הפונקציה $(f(x))^2$ אינה יורדת, מהו שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ הוא מקסימלי? נמקו את תשובתכם.

הביעו באמצעות $t$ את שיעור ה-$y$ של הנקודה C. האם הוא תלוי ב-$c$?

עבור $c=-3$: מצאו את תחום הערכים של $t$, ואת השטח המקסימלי של המשולש OBC.

מצאו את כל ערכי $c$ שבעבורם לשטח המשולש OBC יש ערך מקסימלי, ומצאו את הערך הזה.

הביעו באמצעות $k$ את שיעורי הנקודה A.

מצאו את כל ערכי $k$ שבעבורם הנקודה A נמצאת ברביע הראשון ולפונקציה $f(x)$ אין נקודות קיצון.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-$x$ החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-$y$ החותך אותו בנקודה C.

מבין הערכים של $k$ שבעבורם A ברביע הראשון, מצאו את $k$ שבעבורו שטח המלבן OBAC (O ראשית הצירים) הוא מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

מצאו את כל ערכי $k$ שבעבורם A ברביע הראשון ושטח המלבן OBAC שווה ל-1.