דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: בעיות קיצון בגאומטריה אנליטית: משולש ומלבן בין גרף לצירים - כיתה י"א 5 יח"ל

בעיות קיצון בגאומטריה אנליטית לכיתה י"א, 5 יחידות: משולש או מלבן שנבנים בין גרף לצירים. בשאלות נקודה B נעה על גרף של פולינום ממעלה שלישית ברביע השני, ובונים ממנה משולש או מלבן עם הצירים ומחפשים שטח מקסימלי; בחלק מהשאלות הגרף הוא של פונקציית שורש. יש שאלות עם פרמטר c או k. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מכאן לבוחן או למבחן בבעיות קיצון, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא שנשמר בקובץ Word.

12 שאלותקלה: 5בינונית: 5קשה: 2

שאלה 1 · שורש של פונקציה ריבועית עם פרמטרים ומשולש מקסימלישאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מוצגת הפונקציה: f(x)=ax2+bxf(x)=\sqrt{ax^2+bx}. נתון שתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x) הוא: 0≤x≤60\le x\le6.

O6
א.
(1)

הסבירו מדוע הביטוי ax2+bxax^2+bx מתאפס ב-x=6x=6, והוכיחו כי b=−6ab=-6a.

(2)

קבעו איזו מהטענות נכונה, ונמקו: I. a>0a>0, b<0b<0. II. a<0a<0, b>0b>0.

ב.

הנקודה PP נמצאת על גרף הפונקציה (f(x))2(f(x))^2 המוגדרת גם היא בתחום: 0≤x≤60\le x\le6. מהנקודה PP מעבירים ישר המאונך לציר ה-xx. MM היא נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים.

הראו כי שטח המשולש PMOPMO הוא S(x)=a2(x3−6x2)S(x)=\frac{a}{2}\left(x^3-6x^2\right), כאשר xx הוא שיעור ה-xx של PP.

ג.

מצאו את שיעור ה-xx של PP שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ובטאו את השטח המקסימלי באמצעות aa.

ד.

ידוע כי PP נמצאת בתחום שבו (f(x))2(f(x))^2 אינה יורדת. מצאו את שיעור ה-xx של PP שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ואת השטח הזה.

שאלה 2 · פונקציית שורש עם שני פרמטרים: פרמטרים מתחום ההגדרה ומשולש מקסימלישאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מוצגת הפונקציה: f(x)=ax3+bx6f(x)=\sqrt{ax^3+bx^6}. נתון שתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x) הוא: 0≤x≤20\le x\le2.

O2
א.
(1)

הוכיחו כי a=−8ba=-8b.

(2)

לפניכם שתי טענות I-II. רק אחת מהן נכונה. קבעו מהי הטענה הנכונה, ונמקו את קביעתכם.

I. a>0a>0, b<0b<0.

II. a<0a<0, b>0b>0.

ב.

הנקודה PP נמצאת על גרף הפונקציה (f(x))2(f(x))^2 המוגדרת גם היא בתחום: 0≤x≤20\le x\le2. מהנקודה PP מעבירים ישר המאונך לציר ה-xx. MM היא נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים.

מהו שיעור ה-xx של הנקודה PP שבעבורו שטח המשולש PMOPMO הוא מקסימלי? נמקו את תשובתכם.

ג.

בעבור שיעור ה-xx שמצאתם בסעיף ב, בטאו באמצעות aa את השטח המקסימלי של המשולש PMOPMO.

ד.

אם ידוע כי שיעור ה-xx של הנקודה PP נמצא בתחום שבו הפונקציה (f(x))2(f(x))^2 אינה יורדת, מהו שיעור ה-xx של הנקודה PP שבעבורו שטח המשולש PMOPMO הוא מקסימלי? נמקו את תשובתכם.

שאלה 3 · משיק לפולינום עם פרמטר: מתי לשטח המשולש יש מקסימוםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x3+8x2+cxf(x)=3x^3+8x^2+cx, כאשר cc פרמטר. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, ו-tt הוא שיעור ה-xx שלה. המשיק לגרף בנקודה B חותך את ציר ה-yy בנקודה C, שנמצאת מתחת לציר ה-xx. O היא ראשית הצירים.

א.

הביעו באמצעות tt את שיעור ה-yy של הנקודה C. האם הוא תלוי ב-cc?

ב.

עבור c=−3c=-3: מצאו את תחום הערכים של tt, ואת השטח המקסימלי של המשולש OBC.

ג.

מצאו את כל ערכי cc שבעבורם לשטח המשולש OBC יש ערך מקסימלי, ומצאו את הערך הזה.

שאלה 4 · משיק לפולינום בנקודה כללית: שטח משולש בשלביםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=3x3+16x2+16xf(x)=3x^3+16x^2+16x. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, ו-tt הוא שיעור ה-xx שלה. המשיק לגרף בנקודה B חותך את ציר ה-yy בנקודה C, ו-O היא ראשית הצירים (ראו סרטוט).

BCO
א.

הראו כי משוואת המשיק לגרף בנקודה B היא y=(9t2+32t+16)x−6t3−16t2y=(9t^2+32t+16)x-6t^3-16t^2.

ב.

מצאו את תחום הערכים של tt שבעבורם B נמצאת ברביע השני.

ג.

נתון גם כי הנקודה C נמצאת מתחת לציר ה-xx.

מצאו את תחום הערכים של tt.

ד.

הראו כי שטח המשולש OBC הוא S(t)=−3t4−8t3S(t)=-3t^4-8t^3, ומצאו את השטח המקסימלי.

שאלה 5 · משיק לפולינום בנקודה כללית: תחום הפרמטר ושטח מקסימלי של משולששאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=3x3−5x2+3x+9f(x)=3x^3-5x^2+3x+9, המוגדרת לכל xx. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x) ברביע הראשון (ראו סרטוט). מן הנקודה B מעבירים משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x). המשיק חותך את ציר ה-yy בנקודה C. נסמן ב-tt את שיעור ה-xx של הנקודה B.

BCO
א.

הביעו באמצעות tt את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) בנקודה B.

ב.

ידוע כי הנקודה C נמצאת מעל ציר ה-xx.

מהו תחום הערכים של tt?

ג.

הנקודה O היא ראשית הצירים.

מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OBC.

שאלה 6 · פולינום עם פרמטר במקדם : נקודת פיתול, תנאי לאי-קיום קיצון ומלבן מקסימלישאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3kx2+3xf(x)=x^3-3kx^2+3x, המוגדרת לכל xx. kk הוא פרמטר שונה מ-0.

הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x).

א.

הביעו באמצעות kk את שיעורי הנקודה A.

ב.

מצאו את כל ערכי kk שבעבורם הנקודה A נמצאת ברביע הראשון ולפונקציה f(x)f(x) אין נקודות קיצון.

ג.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yy החותך אותו בנקודה C.

מבין הערכים של kk שבעבורם A ברביע הראשון, מצאו את kk שבעבורו שטח המלבן OBAC (O ראשית הצירים) הוא מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ד.

מצאו את כל ערכי kk שבעבורם A ברביע הראשון ושטח המלבן OBAC שווה ל-1.

שאלה 7 · שטח מקסימלי של משולש שקודקודו על גרף פולינוםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=3x−x3f(x)=3x-x^3. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt. הנקודה P היא העקב של האנך מ-B לציר ה-xx, ו-O היא ראשית הצירים.

א.

הביעו באמצעות tt את שטח המשולש OBP, ומצאו את תחום הערכים של tt.

ב.

מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OBP.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

  • פונקציית שורש עם שני פרמטרים: פרמטרים מתחום ההגדרה, ומשולש מקסימלי בתחום מוגבל · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 8

    בסרטוט שלפניכם מוצגת הפונקציה: f(x)=ax4+bx3f(x)=\sqrt{ax^4+bx^3}. נתון שתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x) הוא: 0≤x≤40\le x\le4.

  • משיק לפולינום בנקודה כללית: תחום הפרמטר ושטח מקסימלי של משולש · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 8

    נתונה הפונקציה: f(x)=x3+4x2f(x)=x^3+4x^2, המוגדרת לכל xx. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x) ברביע השני (ראו סרטוט). מן הנקודה B מעבירים משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x).…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.