מבחן לדוגמה: מבנה בעיית קיצון: פונקציית המטרה ותחום ההגדרה שלה - כיתה י"א 5 יח"ל

סכומם של שני מספרים חיוביים הוא $15$. מחפשים את הערך הגדול ביותר של המכפלה של המספר הראשון בריבוע של המספר השני. נסמן ב-$x$ את המספר הראשון.

שטחו של מלבן הוא $36$ סמ"ר. מחפשים את ההיקף הקטן ביותר של המלבן. נסמן ב-$x$ את אורך אחת מצלעות המלבן (בס"מ).

$x$ ו-$y$ הם שני מספרים אי-שליליים המקיימים $x+2y=20$. מחפשים את הערך הקטן ביותר של סכום הריבועים $x^2+y^2$.

רשמו את פונקציית המטרה כפונקציה של $x$ בלבד, ואת תחום ההגדרה שלה.

$x$ ו-$y$ הם שני מספרים חיוביים שמכפלתם $50$. מחפשים את הערך הקטן ביותר של סכום המספר $x$ ופעמיים המספר $y$.

רשמו את פונקציית המטרה כפונקציה של $x$ בלבד, ואת תחום ההגדרה שלה.

הביעו באמצעות $a$ את אורך הניצב שעל ציר ה-$y$, וקבעו את תחום הערכים של $a$.

הביעו את $E$ באמצעות $x$ בלבד, ורשמו את תחום ההגדרה של $x$.

מצאו את $x$ ו-$y$ שבעבורם $E$ הוא הקטן ביותר, ואת הערך הקטן ביותר של $E$.

מצאו את כל הזוגות $x$, $y$ שבעבורם $E=\frac94$.

הביעו את $E$ באמצעות $x$ בלבד, ורשמו את תחום ההגדרה של $x$.

מצאו את $x$ ו-$y$ שבעבורם $E$ הוא הגדול ביותר, ואת הערך הגדול ביותר של $E$.

נוסף התנאי: המספר $y$ גדול מהמספר $x$. מהו עכשיו תחום ההגדרה של $x$? האם יש עכשיו ל-$E$ ערך גדול ביותר? נמקו.

הביעו באמצעות $k$ את אורך צלע המשולש שבעבורו $S(x)$ מינימלי.

מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לבין רדיוס המעגל החסום בריבוע, כאשר $S(x)$ מינימלי.

נתון כי כאשר $S(x)$ מינימלי, רדיוס המעגל החסום בריבוע הוא 1 ס״מ. מצאו את $k$ ואת סכום השטחים המינימלי.

מצאו, באמצעות $k$, את כל ערכי $A$ שבעבורם יש בדיוק שתי דרכים לחתוך את החוט כך שסכום השטחים יהיה $A$.