דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: קיצון בתחום סגור: בדיקת הקצוות - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על קיצון בתחום סגור: בדיקת הקצוות (בעיות ערך קיצון: מספרים ופונקציות (חומר קודם)), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
קיצון בתחום סגור: בדיקת הקצוות
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · קטע אופקי בין גרף לישר (מודרך)שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה f(x)=x3+3xf(x)=x^3+3x והישר y=6x+4y=6x+4. הנקודה AA נמצאת על גרף f(x)f(x), משמאל לנקודת החיתוך של הגרף עם הישר. הנקודה BB נמצאת על הישר כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-xx. נסמן ב-tt את שיעור ה-xx של AA. נתון: −2.5≤t≤1.5-2.5\le t\le1.5.

AB
א.

הביעו באמצעות tt את שיעור ה-xx של הנקודה BB.

ב.

הראו כי AB=4+3t−t36AB=\frac{4+3t-t^3}{6}.

ג.

מצאו את נקודות הקיצון המקומיות של ABAB כפונקציה של tt, וקבעו את סוגן.

ד.
(1)

מצאו את הערך של tt שבעבורו אורך הקטע ABAB מינימלי.

(2)

מצאו את הערך של tt שבעבורו אורך הקטע ABAB מקסימלי.

שאלה 2 · שורש של פונקציה ריבועית עם פרמטרים ומשולש מקסימלישאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מוצגת הפונקציה: f(x)=ax2+bxf(x)=\sqrt{ax^2+bx}. נתון שתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x) הוא: 0≤x≤60\le x\le6.

O6
א.
(1)

הסבירו מדוע הביטוי ax2+bxax^2+bx מתאפס ב-x=6x=6, והוכיחו כי b=−6ab=-6a.

(2)

קבעו איזו מהטענות נכונה, ונמקו: I. a>0a>0, b<0b<0. II. a<0a<0, b>0b>0.

ב.

הנקודה PP נמצאת על גרף הפונקציה (f(x))2(f(x))^2 המוגדרת גם היא בתחום: 0≤x≤60\le x\le6. מהנקודה PP מעבירים ישר המאונך לציר ה-xx. MM היא נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים.

הראו כי שטח המשולש PMOPMO הוא S(x)=a2(x3−6x2)S(x)=\frac{a}{2}\left(x^3-6x^2\right), כאשר xx הוא שיעור ה-xx של PP.

ג.

מצאו את שיעור ה-xx של PP שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ובטאו את השטח המקסימלי באמצעות aa.

ד.

ידוע כי PP נמצאת בתחום שבו (f(x))2(f(x))^2 אינה יורדת. מצאו את שיעור ה-xx של PP שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ואת השטח הזה.

שאלה 3 · משולש מקסימלי מתחת לגרף פולינום בתחום מוגבלשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה y=6x2−x3y=6x^2-x^3 בתחום 0≤x≤60\le x\le6. הנקודה PP נמצאת על גרף הפונקציה. MM היא נקודת החיתוך של האנך מ-PP לציר ה-xx עם ציר ה-xx, ו-OO ראשית הצירים.

א.

מצאו את שיעור ה-xx של PP שבעבורו שטח המשולש PMOPMO מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ב.

ידוע כי PP נמצאת בתחום שבו הפונקציה y=6x2−x3y=6x^2-x^3 עולה. מצאו את שיעור ה-xx של PP שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ואת השטח.

שאלה 4 · קטע אנכי בין גרף פולינום לישר: קיצון מוחלט בתחום סגורשאלה קצרה · בינונית

נתונים גרף הפונקציה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2 והישר y=9x+30y=9x+30. הנקודה PP נמצאת על גרף f(x)f(x) ושיעור ה-xx שלה הוא tt, והנקודה QQ נמצאת על הישר כך ש-PQPQ מקביל לציר ה-yy. נתון: −1.5≤t≤5.5-1.5\le t\le5.5, ובתחום זה הישר נמצא מעל הגרף.

PQ
א.

מצאו את הערך של tt שבעבורו אורך הקטע PQPQ מינימלי.

ב.

מצאו את הערך של tt שבעבורו אורך הקטע PQPQ מקסימלי.

שאלה 5 · קטע אופקי בין גרף לישר: אורך מינימלי ומקסימלי בתחום סגורשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה: f(x)=x3+x−2f(x)=x^3+x-2 והישר y=4x+by=4x+b. bb הוא פרמטר חיובי. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x) כך ששיעור ה-xx שלה קטן משיעור ה-xx של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הישר הנתון. הנקודה BB נמצאת על הישר הנתון כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-xx. נסמן ב-tt את שיעור ה-xx של הנקודה AA. נתון: −0.5≤t≤1.8-0.5\le t\le1.8.

AB
א.

הביעו באמצעות bb ו-tt את שיעור ה-xx של הנקודה BB.

ב.
(1)

מצאו את הערך של tt שבעבורו אורך הקטע ABAB הוא מינימלי.

(2)

מצאו את הערך של tt שבעבורו אורך הקטע ABAB הוא מקסימלי.

שאלה 6 · קטע אופקי בין גרף לישר: תנאי על ותחום משתנהשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה f(x)=x3−6x2+15xf(x)=x^3-6x^2+15x והישר y=6x+by=6x+b, כאשר bb פרמטר חיובי. AA היא נקודה על גרף f(x)f(x) ששיעור ה-xx שלה הוא tt, ו-BB היא הנקודה על הישר שבעבורה ABAB מקביל לציר ה-xx.

AB
א.

מצאו את כל ערכי bb שבעבורם לכל 0<t<30<t<3 הנקודה BB נמצאת משמאל לנקודה AA.

בסעיפים ב-ג נתון: b=20b=20.

ב.

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x) עם הישר, ומצאו את כל ערכי tt בתחום 0≤t<x00\le t<x_0 (x0x_0 - שיעור החיתוך) שבעבורם אורך הקטע ABAB מקסימלי.

ג.

נתון 0≤t≤c0\le t\le c, כאשר 0<c<50<c<5. מצאו את כל ערכי cc שבעבורם האורך המינימלי של ABAB מתקבל רק בקצה t=ct=c.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.