מבחן לדוגמה: פולינום כמכפלת גורמים: שורשים וריבוי שורש - כיתה י"א 5 יח"ל

נתונה הפונקציה $f(x)=x(x-3)^2(x+4)$. מצאו את נקודות האפס של $f$, ורשמו ליד כל אחת מהן את הריבוי שלה.

רשמו כמכפלת גורמים פולינום ממעלה שלישית, שהמקדם המוביל שלו $1$, ושיש לו בדיוק שתי נקודות אפס: $x=-2$ מריבוי $2$ ו-$x=5$ מריבוי $1$.

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ($BC\parallel AD$) וטרפז BCDE ($CD\parallel BE$). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: $EM=BM$, $ED\perp AD$, $AB\perp BM$. נסמן: $\angle EMD=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^2(x-2)$ ו-$g(x)=x^3(x-2)$. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד של כל פונקציה.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$, ומצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

מצאו את $a$ ואת $b$.

הראו ש-$x=3$ הוא שורש של $f$.

מכיוון ש-$x=3$ הוא שורש, אפשר לרשום $f(x)=(x-3)(x^2+bx+c)$. מצאו את $b$ ואת $c$.

מצאו את כל השורשים הממשיים של $f$. כמה שורשים שונים יש לו? הסבירו מדוע מספר זה קטן מהמעלה של $f$.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של $f(x)$. הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

מצאו את $b$.

עבור הערך של $b$ שמצאתם, כתבו את $f$ כמכפלת גורמים ממעלה ראשונה, ומצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות שלה.

נגדיר $g(x)=(x+2)\cdot f(x)$. מצאו את האפסים של $g$ ואת הריבוי של כל אחד מהם, קבעו בכל אפס אם הגרף של $g$ חוצה את ציר ה-$x$ או נוגע בו, ופתרו את אי-השוויון $g(x)<0$.