שאלות פתוחות: פולינום כמכפלת גורמים: שורשים וריבוי שורש - כיתה י"א 5 יח"ל

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ($BC\parallel AD$) וטרפז BCDE ($CD\parallel BE$). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: $EM=BM$, $ED\perp AD$, $AB\perp BM$. נסמן: $\angle EMD=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^2(x-2)$ ו-$g(x)=x^3(x-2)$. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד של כל פונקציה.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$, ומצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. הנקודה K היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC. נסמן: $\angle ACB=\alpha$.

נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה: $x=-2$. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$ היא בנקודה $(3,0)$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מייצג את הפונקציה $f(x)$.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של $f(x)$. הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

נתונה הפונקציה $f(x)=x(x-3)^2(x+4)$. מצאו את נקודות האפס של $f$, ורשמו ליד כל אחת מהן את הריבוי שלה.

רשמו כמכפלת גורמים פולינום ממעלה שלישית, שהמקדם המוביל שלו $1$, ושיש לו בדיוק שתי נקודות אפס: $x=-2$ מריבוי $2$ ו-$x=5$ מריבוי $1$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ($BC\parallel AD$) וטרפז BCDE ($CD\parallel BE$). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: $ED=AB$, $ED\perp AD$, $AB\perp BM$. אורך הקטע AM גדול פי 3 מאורך הקטע DM. נסמן: $\angle EMD=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)^2$ ו-$g(x)=x^n(x+1)^2$, המוגדרות לכל $x$. $n$ הוא פרמטר טבעי גדול מ-1. כל אחד מן הגרפים I-IV לפניכם מייצג אחת מן הפונקציות בעבור $n$ זוגי או $n$ אי-זוגי.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

מצאו את $b$.

עבור הערך של $b$ שמצאתם, כתבו את $f$ כמכפלת גורמים ממעלה ראשונה, ומצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות שלה.

נגדיר $g(x)=(x+2)\cdot f(x)$. מצאו את האפסים של $g$ ואת הריבוי של כל אחד מהם, קבעו בכל אפס אם הגרף של $g$ חוצה את ציר ה-$x$ או נוגע בו, ופתרו את אי-השוויון $g(x)<0$.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם ציר ה-$x$. לכל נקודה קבעו אם הגרף חוצה בה את ציר ה-$x$ או רק נוגע בו. נמקו.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף של $f$ עם ציר ה-$y$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac{3}{1\cdot2\cdot2}+\frac{4}{2\cdot3\cdot2^2}+\frac{5}{3\cdot4\cdot2^3}+\ldots+\frac{n+2}{n(n+1)\cdot2^n}=1-\frac{1}{(n+1)\cdot2^n}$

בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCD ($AD\parallel BC$, $\angle BAD=\angle ABC=90^\circ$). האלכסון BD מאונך לשוק CD. אורך השוק CD גדול פי 1.5 מאורך הבסיס AD. נסמן: $\angle ADB=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)(x+2)$ ו-$g(x)=x^n(x+1)(x-2)$, המוגדרות לכל $x$. $n$ הוא פרמטר טבעי גדול מ-1. כל אחד מן הגרפים I-IV לפניכם מייצג אחת מן הפונקציות בעבור $n$ זוגי או $n$ אי-זוגי.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-4)(x^2-4x+4)$. פרקו את $f(x)$ לגורמים ממעלה ראשונה, מצאו את נקודות האפס שלה ואת הריבוי של כל אחת, וקבעו בכל נקודה אם הגרף חוצה את ציר ה-$x$ או נוגע בו.

נתונה הפונקציה $g(x)=x^3+4x^2+4x$. פרקו את $g(x)$ לגורמים, מצאו את נקודות האפס שלה ואת הריבוי של כל אחת, וקבעו בכל נקודה אם הגרף חוצה את ציר ה-$x$ או נוגע בו.

מצאו את $a$ ואת $b$.