מבחן לדוגמה: חישוב זווית במשולש ישר-זווית - כיתה י"א 5 יח"ל

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ($BC\parallel AD$) וטרפז BCDE ($CD\parallel BE$). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: $EM=BM$, $ED\perp AD$, $AB\perp BM$. נסמן: $\angle EMD=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^2(x-2)$ ו-$g(x)=x^3(x-2)$. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד של כל פונקציה.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$, ומצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

הסבירו מדוע $CM=\frac{AD}{2}$, ומצאו את אורך $CM$.

הסבירו מדוע $ME\parallel DB$ ו-$ME=\frac{DB}{2}$, והסיקו כי $ME=CM$.

חשבו את $AC$ ואת הזוויות $\sphericalangle ADC$ ו-$\sphericalangle ABC$.

הראו כי $DE\perp AB$, והסיקו כי המרובע $ACDE$ בר חסימה במעגל.

חשבו את אורך הקטע $DE$.

מצאו את $\alpha$.

מצאו את היחס בין שטח המשולש ABM לשטח המשולש EDM.

מצאו את $AD$ ואת $DB$.

מצאו את $\sphericalangle ABC$.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac{3}{1\cdot2\cdot2}+\frac{4}{2\cdot3\cdot2^2}+\frac{5}{3\cdot4\cdot2^3}+\ldots+\frac{n+2}{n(n+1)\cdot2^n}=1-\frac{1}{(n+1)\cdot2^n}$

בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCD ($AD\parallel BC$, $\angle BAD=\angle ABC=90^\circ$). האלכסון BD מאונך לשוק CD. אורך השוק CD גדול פי 1.5 מאורך הבסיס AD. נסמן: $\angle ADB=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)(x+2)$ ו-$g(x)=x^n(x+1)(x-2)$, המוגדרות לכל $x$. $n$ הוא פרמטר טבעי גדול מ-1. כל אחד מן הגרפים I-IV לפניכם מייצג אחת מן הפונקציות בעבור $n$ זוגי או $n$ אי-זוגי.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

הביעו באמצעות $k$ את היחס $\frac{AE}{EO}$.

הביעו באמצעות $k$ את היחס בין שטח המשולש ACE לשטח המשולש AOK.

מצאו את $k$ שבעבורו שטח המשולש ACE שווה לשטח המשולש AOK, ומצאו בעבור $k$ זה את $\angle ABC$.

האם ייתכן ששטח המשולש ACE גדול פי 1.5 משטח המשולש AOK? נמקו.