שאלות פתוחות: חישוב זווית במשולש ישר-זווית - כיתה י"א 5 יח"ל

חישוב זווית במשולש ישר-זווית בעזרת טריגונומטריה - שאלות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מוצאים זוויות בעזרת יחסים טריגונומטריים במלבן שבו AB=12 ו-BC=5 עם מרכזי מעגלים חסומים, במשולש ישר-זווית עם גובה ליתר, בשני מעגלים משיקים מבחוץ ובמשיק וחותך מנקודה חיצונית. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. המורה יכול לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה כחזרה על חומר קודם, ולקבל את השאלות עם פתרון מלא בקובץ Word.

31 שאלותקלה: 10בינונית: 17קשה: 4

שאלה 1 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן במידות נתונותשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD נתון: AB=12AB=12AB=12, BC=5BC=5BC=5.
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC. נסמן ∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α.
ABCDOM

א.

חשבו את α\alphaα.

ב.

הסבירו מדוע ∢OAB=45∘\sphericalangle OAB=45^\circ∢OAB=45∘ ו-∢OBA=α2\sphericalangle OBA=\frac{\alpha}{2}∢OBA=2α​. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש AOBAOBAOB, וחשבו את BOBOBO.

ג.

הראו כי ∢OBM=45∘\sphericalangle OBM=45^\circ∢OBM=45∘.

ד.

חשבו את BMBMBM (היעזרו במשולש BMCBMCBMC), ואת שטח המשולש OBMOBMOBM.

שאלה 2 · מרכזי המעגלים החסומים משני צדי הגובה ליתר: משפט הסינוסים וזווית של 45°שאלה מלאה · בינונית

במשולש ישר-זווית ABCABCABC (∢ACB=90∘\sphericalangle ACB=90^\circ∢ACB=90∘) הקטע CDCDCD הוא הגובה ליתר ABABAB.
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ACDACDACD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BCDBCDBCD.
נסמן: ∢CAB=α\sphericalangle CAB=\alpha∢CAB=α, CD=aCD=aCD=a.
ABCDOM

א.

הביעו את DODODO ואת COCOCO באמצעות aaa ו-α\alphaα.

ב.

הראו כי ∢OCM=45∘\sphericalangle OCM=45^\circ∢OCM=45∘.

ג.

נתון: AC=15AC=15AC=15, BC=20BC=20BC=20.

חשבו את α\alphaα.

ד.

חשבו את שטח המשולש OCMOCMOCM.

שאלה 3 · שני מעגלים משיקים ברדיוסים R ו-r: אורך המשיק המשותף, יחס מיתרים וזוויתשאלה מלאה · קשה

שני מעגלים משיקים זה לזה מבחוץ בנקודה AAA. OOO הוא מרכז המעגל השמאלי ורדיוסו RRR, ו-QQQ הוא מרכז המעגל הימני ורדיוסו rrr, כאשר R>rR>rR>r. המשיק המשותף בנקודה AAA חותך בנקודה MMM את הישר שמשיק לשני המעגלים בנקודות BBB (על המעגל שמרכזו OOO) ו-CCC.
OABMCQ

א.

הביעו את BCBCBC באמצעות RRR ו-rrr.

ב.

הביעו את היחס ABAC\frac{AB}{AC}ACAB​ באמצעות RRR ו-rrr.

ג.

נתון: ∢ABC=30∘\sphericalangle ABC=30^\circ∢ABC=30∘, BC=8BC=8BC=8.

מצאו את RRR ואת rrr.

ד.

הוכיחו כי לכל שני מעגלים בתצורה הזו (עם R>rR>rR>r) מתקיים ∢ABC<45∘\sphericalangle ABC<45^\circ∢ABC<45∘.

שאלה 4 · משיק וחותך דרך המרכז: משיק-מיתר, דמיון ומשפט המשיק והחותךשאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו O. מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שני ישרים: הישר AB משיק למעגל בנקודה B, והישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו-D (C בין A ל-O) (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
OABCD

א.

הסבירו מדוע ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α ומדוע ∠CBD=90∘\angle CBD=90^\circ∠CBD=90∘.

ב.

הוכיחו כי ΔABC∼ΔADB\Delta ABC\sim\Delta ADBΔABC∼ΔADB, והסיקו כי AB2=AC⋅ADAB^2=AC\cdot ADAB2=AC⋅AD.

ג.

נתון: AC=2AC=2AC=2, AB=4AB=4AB=4.

חשבו את ADADAD ואת רדיוס המעגל.

ד.

חשבו את היחס בין שטח המשולש ABC לשטח המשולש ADB.

ה.

היעזרו בדמיון ומצאו את tan⁡α\tan\alphatanα ואת α\alphaα.

שאלה 5 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: הזווית שבנקודה A ויחס בין החותך למשיקשאלה מלאה · בינונית

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בשתי נקודות: C (הקרובה ל-A) ו-B, כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠OAD=α\angle OAD=\alpha∠OAD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.
OABCD

א.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα, β\betaβ ו-RRR, אם יש צורך, את: אורך הקטע AO.

(2)

אורך הקטע AB.

ב.

נתון: AB=2⋅ADAB=\sqrt2\cdot ADAB=2​⋅AD.

הוכיחו כי: cos⁡β=3sin⁡2α−12sin⁡α\cos\beta=\frac{3\sin^2\alpha-1}{2\sin\alpha}cosβ=2sinα3sin2α−1​.

ג.

משולש ADO חסום במעגל אחר, שרדיוסו rrr. נתון: Rr=43\frac{R}{r}=\frac43rR​=34​.

מצאו את גודלי הזוויות α\alphaα ו-β\betaβ.

שאלה 6 · שני מעגלים נחתכים: חוצה זווית ופיתגורס עם פרמטרים, ובעיה הפוכה מיחס שטחיםשאלה מלאה · קשה

שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו-B. C היא נקודה על המעגל הימני. המשכי הקטעים CA ו-CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו-E בהתאמה. הנקודה F נמצאת על הקשת BC, כמתואר בסרטוט. המשכי הקטעים DE ו-CF נפגשים בנקודה G. נתון: CE מאונך ל-AB.
DEABCFG

א.

הוכיחו: ∠GDC=90∘\angle GDC=90^\circ∠GDC=90∘.

ב.

הוכיחו: המרובע GDAF הוא בר חסימה במעגל.

ג.

נתון: CE חוצה את הזווית GCD. נסמן: DE=aDE=aDE=a, CD=bCD=bCD=b.

הביעו באמצעות aaa ו-bbb את אורך הקטע EG, והסבירו מדוע בהכרח b>ab>ab>a.

ד.

נתון: שטח המשולש GEC גדול פי 2 משטח המשולש DEC. מצאו את גודל הזווית GCD.

שאלה 7 · מעגל, משיק וחותך: זוויות במשולש שמחוץ למעגל, משפט הסינוסים ומרובע בר-חסימה (מספרים)שאלה מלאה · קלה

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 5. מנקודה EEE שמחוץ למעגל העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות AAA ו-BBB (AAA בין EEE ל-BBB). CCC אמצע המיתר ABABAB, ואורך המיתר ABABAB הוא 8. הנקודה DDD נמצאת על הקשת הגדולה ABABAB, כך ש-EDEDED משיק למעגל בנקודה DDD, ו-∠DOA=60∘\angle DOA=60^\circ∠DOA=60∘ (הנקודות DDD ו-CCC נמצאות משני צדי הישר OAOAOA), כמתואר בסרטוט.
OABCDE

א.

מצאו את אורך הקטע OCOCOC ואת גודל הזווית AOCAOCAOC.

ב.

הסבירו מדוע ∠ADE=30∘\angle ADE=30^\circ∠ADE=30∘, ומצאו את הזוויות DAEDAEDAE ו-DEADEADEA.

ג.

מצאו את אורך המשיק DEDEDE.

ד.

הסבירו מדוע אפשר לחסום את המרובע DOCEDOCEDOCE במעגל, ומצאו את רדיוס המעגל החוסם אותו.

שאלה 8 · משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: הצלע שמול הזווית כפרמטר, שוויון צלעות וזווית במשולש עזרשאלה מלאה · בינונית

משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים OE=EDOE=EDOE=ED (ראו סרטוט).
נסמן ∠CDB=α\angle CDB=\alpha∠CDB=α, BC=kBC=kBC=k.
BCDOEG

א.

הביעו את sin⁡α\sin\alphasinα באמצעות kkk ו-RRR.

ב.

הוכיחו כי CE=129R2−2k2CE=\frac12\sqrt{9R^2-2k^2}CE=21​9R2−2k2​.

ג.

נתון: CE=CDCE=CDCE=CD.

חשבו את α\alphaα.

ד.

מעבירים רדיוס OG, המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.

חשבו את גודל הזווית OEG.

שאלה 9 · מעגל, משיק וחותך: תנאי קיום, השוואת צלעות ובעיות הפוכות בזווית $α$ שאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, ו-ABABAB מיתר במעגל שאורכו RRR. EEE נקודה על המשך המיתר BABABA מעבר לנקודה AAA. מהנקודה EEE העבירו ישר המשיק למעגל בנקודה DDD, הנמצאת על הקשת הגדולה ABABAB, כך שהנקודות DDD ו-BBB נמצאות משני צדי הישר OAOAOA. CCC אמצע המיתר ABABAB. נסמן ∠AOD=2α\angle AOD=2\alpha∠AOD=2α.
2αOABCDE

א.

הביעו את אורך המשיק DEDEDE באמצעות RRR ו-α\alphaα, ומצאו לאילו ערכים של α\alphaα הבנייה המתוארת אפשרית.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורו DE=ABDE=ABDE=AB.

ג.

לאילו ערכים של α\alphaα מתקיים DE>DADE>DADE>DA?

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורו מרכז המעגל החוסם את המרובע DOCEDOCEDOCE נמצא על המעגל הנתון.

שאלה 10 · שאלות קצרות (מודרך): אינדוקציה, טרפז וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - 2)$ ופונקציית הצטברותשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

נתונה הטענה: לכל nnn טבעי 45+425+4125+…+45n=1−15n\frac45+\frac4{25}+\frac4{125}+\ldots+\frac4{5^n}=1-\frac1{5^n}54​+254​+1254​+…+5n4​=1−5n1​. בדקו את נכונות הטענה בעבור n=1n=1n=1 ובעבור n=2n=2n=2.

(2)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית שהטענה נכונה לכל nnn טבעי.

ב.

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD (BC∥ADBC\parallel ADBC∥AD) וטרפז BCDE (CD∥BECD\parallel BECD∥BE). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: EM=BMEM=BMEM=BM, ED⊥ADED\perp ADED⊥AD, AB⊥BMAB\perp BMAB⊥BM. נסמן: ∠EMD=α\angle EMD=\alpha∠EMD=α.
ABCDEM

(1)

הסבירו מדוע ∠AMB=α\angle AMB=\alpha∠AMB=α, והראו כי cos⁡2α=DMAM\cos^2\alpha=\frac{DM}{AM}cos2α=AMDM​.

נתון: אורך הקטע AM גדול פי 2 מאורך הקטע DM.

(2)

מצאו את α\alphaα.

נתון: DM=5DM=5DM=5.

(3)

הסבירו מדוע BC=DMBC=DMBC=DM, וחשבו את שטח הטרפז ABCD.

ג.

נתונות הפונקציות f(x)=x2(x−2)f(x)=x^2(x-2)f(x)=x2(x−2) ו-g(x)=x3(x−2)g(x)=x^3(x-2)g(x)=x3(x−2). לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד של כל פונקציה.
גרף I
גרף II

(1)

קבעו איזה מן הגרפים מתאר את f(x)f(x)f(x) ואיזה את g(x)g(x)g(x). נמקו לפי ההתנהגות של כל גרף ליד x=0x=0x=0 ובקצוות.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx.

ד.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx, ומצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-xxx. פונקציה g(x)g(x)g(x) מוגדרת בתחום x≥0x\ge0x≥0, ומקיימת g(x)=∫0xf(t) dtg(x)=\int_0^x f(t)\,dtg(x)=∫0x​f(t)dt.
f(x)
(1,0)(3,0)

(1)

קבעו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x), ומצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון שלה וקבעו את סוגן (שימו לב גם לקצה התחום x=0x=0x=0).

נתון: השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤10\le x\le10≤x≤1 הוא 3, ובתחום 1≤x≤31\le x\le31≤x≤3 הוא 4.

(2)

חשבו את g(1)g(1)g(1) ואת g(3)g(3)g(3).

עוד 8 שאלות על חישוב זווית במשולש ישר-זווית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מעגל, משיק וחותך: מיתר באורך $R 2$ , משפט הסינוסים ומעגל חוסם למרובע (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ …
מעגל עם פרמטר: יחס שטחים כפונקציה של $\frac{A C}{R}$ , יחס הזהב וזווית של $5 4^{\circ}$ (שאלה מלאה · קשה)
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . C היא נקודה על המעגל, ו-P היא אמצע המיתר CB. המשך הקטע PO חותך את המעגל בנקודה K, והמיתר CK חותך את…
משולש ישר זווית, תיכון ליתר וקטע אמצעים: חישובים מודרכים (שאלה מלאה · קלה)
משולש $ABC$ הוא ישר זווית: $\sphericalangle C=90^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $AD=DB$ . הנקודה…
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)^{2}$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$
שני משולשים ישרי-זווית עם זווית קודקודית וקטעים שווים (שאלה קצרה · בינונית)
הקטעים AD ו-BE נחתכים בנקודה M (ראו סרטוט). נתון: $\angle ABM=90^\circ$ , $\angle EDM=90^\circ$ , $AM=10$ , $EM=4$ , $AB=DM$ . נסמן:…
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ישר זווית וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - a) (x + b)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
משולש ישר זווית, תיכון ליתר וקטע אמצעים: מרכז המעגל החוסם ומרובע חוסם (שאלה מלאה · בינונית)
משולש $ABC$ הוא ישר זווית: $\sphericalangle C=90^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $AD=DB$ . נסמן:…
זווית במשולש ישר זווית בעזרת משולש שווה שוקיים פנימי (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון $\sphericalangle C=90^\circ$ . הנקודה $D$ על הצלע $BC$ מקיימת $\sphericalangle DAB=\sphericalangle DBA$ . נתון: $CD=5$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מרכזי המעגלים החסומים במלבן: משפט הסינוסים וזווית של 45° · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 4
במלבן $ABCD$ הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABD$ , והנקודה $M$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $BDC$ . נסמן: $\sphericalangle ABD=\alpha$ , $BC=b$ , $AB=a$ .
משיק וחותך מנקודה חיצונית: משפט הקוסינוסים, זהות וזוויות מיחס רדיוסים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $R$ . מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בנקודה B כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: משפט הקוסינוסים עם פרמטרים, שוויון צלעות וזווית קהה · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 5
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . הנקודות O ו-E נמצאות על הצלע BD, כך שמתקיים $OE=ED$ (ראו סרטוט). נסמן $\angle CDB=\alpha$ , $CD=k$ .
מעגל, משיק וחותך מנקודה חיצונית: זוויות מרובע בר-חסימה, משפט הסינוסים ויחס שטחי מעגלים · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הגדולה…
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac23+\frac69+\frac{10}{27}+\ldots+\frac{4n-2}{3^n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$
משולש ישר זווית, תיכון ליתר וקטע אמצעים: מרובע בר חסימה ומרובע חוסם · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
משולש $ABC$ הוא ישר זווית: $\sphericalangle C=90^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $AB$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש- $AD=DB$ . נסמן: $DB=4x$ . נתון גם:…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

טריגונומטריה: מרחק המצוף משתי זוויות (שאלה מלאה · קלה)
נוי וטל עומדות על החוף בנקודות $A$ ו- $B$ , שהמרחק ביניהן $200$ מטרים. מצוף נמצא בים בנקודה $C$ . הנקודה $D$ …
טריגונומטריה: גובה רחפן משתי זוויות עומק ומרחק ידוע (שאלה מלאה · קלה)
רחפן $D$ מרחף בגובה $h$ מטר מעל הנקודה $C$ שעל הקרקע. מהרחפן רואים שני סלעים, $A$ ו- $B$ , שנמצאים על קו ישר אחד…
בעיית קיצון בטרפז עם שטח כפרמטר: הצורה המינימלית (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ישר זווית, $AB\parallel DC$ (ראו סרטוט). גובה הטרפז $BE$ חוצה את הבסיס $DC$ . שטח הטרפז…
משפט הסינוסים: חישוב צלע (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הנקודות $B(8,0)$ , $C(0,-4)$ ו- $D(-5,0)$ . הנקודה $E$ נמצאת על המשך הקטע $BC$ (מעבר ל- $C$ ), כך ש- $DE=DC$ …
משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ) הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ והקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ .…
משולש ישר זווית ואנך לציר ה-y: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · קלה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ) הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ .…
משפט הסינוסים: חישוב צלע (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABE$ הזווית $E$ ישרה, $AE=6$ ו- $BE=8$ . הנקודה $G$ נמצאת על המשך הצלע $BE$ מעבר לנקודה $E$ , כך…