מבחן לדוגמה: משפט הסינוסים - כיתה י"א 5 יח"ל

הסבירו מדוע $\sphericalangle OFC=90^\circ$, ומצאו את גודל הזווית $FOD$.

מצאו את גודל הזווית $ODF$.

הסבירו מדוע $\sphericalangle AED=90^\circ$, ומצאו את האורך של $DE$.

מצאו את גודל הזווית $FDC$.

חשבו את האורך של $DC$.

מצאו את $\angle BEC$.

חשבו את $BE$ ואת $CE$.

חשבו את $AI$ ואת $BI$.

חשבו את רדיוס המעגל החסום במשולש $ABC$.

מצאו את זוויות המשולש ACD (הביעו באמצעות $\beta$).

הביעו באמצעות $\beta$ ו-$m$ את אורכי הצלעות AD ו-CD.

הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$

הנקודות B, C, D, E נמצאות על מעגל. המיתרים BD ו-CE נחתכים בנקודה A (ראו סרטוט). נתון: $AE=\frac34AC$, $AD=3AB$.

לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)$. לפונקציה $f(x)$ יש שתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה-$x$ ושתי אסימפטוטות מאונכות לציר ה-$y$. אחד מן הביטויים I-IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$.

I. $\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x^2-4}}$ II. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2+4}}$ III. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2-4}}$ IV. $\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+4}}$

הגרפים I-II בסרטוט שלפניכם מתארים את הפונקציה $f(x)$ ואת פונקציית הנגזרת $f'(x)$. כל נקודות הקיצון של הפונקציות $f(x)$ ו-$f'(x)$ מתוארות בסרטוט.

הביעו באמצעות $\alpha$ את זוויות המשולש $ABC$, ובאמצעות $R$ ו-$\alpha$ את אורכי הצלעות $AB$ ו-$BC$.

הביעו את $k$ באמצעות $\alpha$.

נתון: $k=2.5$, $AD=5$.

מצאו את $\alpha$ ואת $R$.

מצאו את כל הערכים של $k$ שבעבורם קיים סרטוט כזה (משולש $ABC$, והמשיק ב-$B$ חותך את המשך $CA$ מעבר ל-$A$).