שאלות פתוחות: משפט הסינוסים - כיתה י"א 5 יח"ל

משפט הסינוסים בשאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מבטאים צלעות של משולש בעזרת זווית ופרמטר, כמו משולש שבו BC=6 וזווית הראש 2π/3, ובהמשך חלק מהשאלות הופכות לבעיות קיצון שבהן מחפשים שטח או היקף מקסימלי. יש גם שאלות על מקבילית שצלעותיה משיקות למעגל ועל מלבן שאלכסונו d. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. אפשר לבחור מכאן לבוחן או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

51 שאלותקלה: 12בינונית: 31קשה: 8

שאלה 1 · משולש עם צלע 6 וזווית $\frac{2 π}{3}$ מולה: היקף מקסימלישאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא 6, ו-∢BAC=2π3\sphericalangle BAC=\frac{2\pi}{3}∢BAC=32π​. נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x (0<x<π30<x<\frac\pi30<x<3π​).

א.

הסבירו מדוע ∢ACB=π3−x\sphericalangle ACB=\frac\pi3-x∢ACB=3π​−x, והביעו באמצעות xxx את אורכי הצלעות ACACAC ו-ABABAB.

ב.

הראו כי היקף המשולש הוא P(x)=6+43(sin⁡x+sin⁡(π3−x))P(x)=6+4\sqrt3\left(\sin x+\sin\left(\frac\pi3-x\right)\right)P(x)=6+43​(sinx+sin(3π​−x)), ומצאו את P′(x)P'(x)P′(x).

ג.

מצאו את ערך ה-xxx שבעבורו היקף המשולש מקסימלי, ואת ההיקף המקסימלי.

ד.

איזה משולש מתקבל כשההיקף מקסימלי? מה אורכי הצלעות ABABAB ו-ACACAC במשולש זה?

שאלה 2 · משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: שטח מקסימלי ומשולש שווה שוקייםשאלה מלאה · בינונית

במשולש ABCABCABC אורך הצלע ACACAC הוא bbb. נתון: ∢ABC=β\sphericalangle ABC=\beta∢ABC=β (β\betaβ ברדיאנים). נסמן: ∢BAC=x\sphericalangle BAC=x∢BAC=x (0<x<π−β0<x<\pi-\beta0<x<π−β).

א.

הביעו באמצעות xxx, β\betaβ ו-bbb את שטח המשולש ABCABCABC.

ב.

הביעו באמצעות β\betaβ את ערך ה-xxx שבעבורו שטח המשולש ABCABCABC הוא מקסימלי.

ג.

הסבירו מדוע מתקיים המשפט הזה: מכל המשולשים בעלי צלע נתונה וזווית מולה נתונה, המשולש בעל השטח המקסימלי הוא משולש שווה שוקיים.

שאלה 3 · ההיקף המקסימלי כפונקציה של הזווית: בעיה הפוכה ומספר משולשיםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא aaa, ו-∢BAC=α\sphericalangle BAC=\alpha∢BAC=α, כאשר 0<α<π0<\alpha<\pi0<α<π (α\alphaα ברדיאנים). נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x.

א.

מצאו, באמצעות aaa ו-α\alphaα, את ההיקף המקסימלי האפשרי של המשולש ABCABCABC.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורה ההיקף המקסימלי של המשולש הוא 3a3a3a. איזה משולש מתקבל אז?

ג.

נתון α=π3\alpha=\frac\pi3α=3π​. קבעו, לכל k>0k>0k>0, כמה ערכים של xxx יש שבעבורם היקף המשולש ABCABCABC הוא kakaka.

שאלה 4 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן במידות נתונותשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD נתון: AB=12AB=12AB=12, BC=5BC=5BC=5.
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC. נסמן ∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α.
ABCDOM

א.

חשבו את α\alphaα.

ב.

הסבירו מדוע ∢OAB=45∘\sphericalangle OAB=45^\circ∢OAB=45∘ ו-∢OBA=α2\sphericalangle OBA=\frac{\alpha}{2}∢OBA=2α​. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש AOBAOBAOB, וחשבו את BOBOBO.

ג.

הראו כי ∢OBM=45∘\sphericalangle OBM=45^\circ∢OBM=45∘.

ד.

חשבו את BMBMBM (היעזרו במשולש BMCBMCBMC), ואת שטח המשולש OBMOBMOBM.

שאלה 5 · מעגל המשיק לשתי צלעות של מקבילית ועובר דרך הקודקוד הנגדישאלה מלאה · בינונית

ABCDABCDABCD היא מקבילית שבה ∢BAD=120∘\sphericalangle BAD=120^\circ∢BAD=120∘. הצלעות ABABAB ו-ADADAD משיקות למעגל שרדיוסו RRR בנקודות EEE ו-KKK בהתאמה. הנקודה CCC נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
ABCDEK

א.

הוכיחו: ∢KCE=30∘\sphericalangle KCE=30^\circ∢KCE=30∘.

ב.

נתון: ∢KCD=α\sphericalangle KCD=\alpha∢KCD=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα את הזוויות של המשולש KCEKCEKCE.

(2)

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את האורכים של צלעות המשולש KCEKCEKCE.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס EBAE\frac{EB}{AE}AEEB​.

ד.

נתון: EB=2AEEB=2AEEB=2AE.

חשבו את α\alphaα.

שאלה 6 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן: שטח כפונקציה של הזווית, בעיה הפוכה ומקסימוםשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD אורך האלכסון BDBDBD הוא ddd, ו-∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α (0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘).
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC.
ABCDOM

א.

הביעו את BOBOBO ואת BMBMBM באמצעות ddd ו-α\alphaα, בצורה הפשוטה ביותר.

ב.

הביעו את שטח המשולש OBMOBMOBM באמצעות ddd ו-α\alphaα.

ג.

נתון: BD=20BD=20BD=20, ושטח המשולש OBMOBMOBM הוא 50(3−1)50\left(\sqrt3-1\right)50(3​−1).

מצאו את α\alphaα.

ד.

עבור BD=20BD=20BD=20, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש OBMOBMOBM? באיזה מלבן הוא מתקבל?

שאלה 7 · מעגל, משיק וקוטר: אורך ושטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $cos 2 α$ שאלה מלאה · קלה

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB (מעבר לנקודה AAA) בנקודה EEE (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α.
ABDOE

א.

הראו כי ∠ABD=α\angle ABD=\alpha∠ABD=α, וכי ∠AED=90∘−2α\angle AED=90^\circ-2\alpha∠AED=90∘−2α.

ב.

הראו כי AD=2Rsin⁡αAD=2R\sin\alphaAD=2Rsinα, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע AEAEAE.

ג.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש ADEADEADE.

ד.

נתון כי AE=RAE=RAE=R. מצאו את α\alphaα.

שאלה 8 · מרכזי המעגלים החסומים משני צדי הגובה ליתר: משפט הסינוסים וזווית של 45°שאלה מלאה · בינונית

במשולש ישר-זווית ABCABCABC (∢ACB=90∘\sphericalangle ACB=90^\circ∢ACB=90∘) הקטע CDCDCD הוא הגובה ליתר ABABAB.
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ACDACDACD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BCDBCDBCD.
נסמן: ∢CAB=α\sphericalangle CAB=\alpha∢CAB=α, CD=aCD=aCD=a.
ABCDOM

א.

הביעו את DODODO ואת COCOCO באמצעות aaa ו-α\alphaα.

ב.

הראו כי ∢OCM=45∘\sphericalangle OCM=45^\circ∢OCM=45∘.

ג.

נתון: AC=15AC=15AC=15, BC=20BC=20BC=20.

חשבו את α\alphaα.

ד.

חשבו את שטח המשולש OCMOCMOCM.

שאלה 9 · מעגל, משיק וקוטר: לאילו זוויות קיימת הנקודה, טווח של אורך ושוויון שטחיםשאלה מלאה · קשה

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB (מעבר לנקודה AAA) בנקודה EEE. נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α. על הקוטר ABABAB מחפשים נקודה FFF שמקיימת FE=FDFE=FDFE=FD. ההמשך של DFDFDF חותך את המעגל בנקודה CCC (ראו סרטוט).
ABDOEFC

א.

מצאו עבור אילו ערכים של α\alphaα קיימת על הקוטר ABABAB נקודה FFF כזו, והביעו באמצעות α\alphaα את ∠CDA\angle CDA∠CDA.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע DFDFDF, ומצאו את כל הערכים האפשריים של היחס DFR\frac{DF}{R}RDF​.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα את יחס השטחים SAFDSAED\frac{S_{AFD}}{S_{AED}}SAED​SAFD​​.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורו המשולשים AFDAFDAFD ו-AEDAEDAED שווי שטח.

שאלה 10 · טרפז חסום במעגל: זוויות, משפט הסינוסים ומשוואה טריגונומטרית (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתון טרפז ABCD (AB∥DC)(AB\parallel DC)(AB∥DC), החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט.
נתון: ∠ACB=45∘\angle ACB=45^\circ∠ACB=45∘.
נסמן: ∠CDE=α\angle CDE=\alpha∠CDE=α, AC=kAC=kAC=k.
ABCDE

א.

הסבירו מדוע ∠ABC=α\angle ABC=\alpha∠ABC=α, ומדוע גם ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α.

ב.

הראו כי ∠DAC=2α−135∘\angle DAC=2\alpha-135^\circ∠DAC=2α−135∘, ומצאו את ∠ADC\angle ADC∠ADC.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-kkk את אורכי הצלעות AB ו-DC.

ד.

נתון כי שטח המשולש ABE גדול פי 2 משטח המשולש DCE.

הסבירו מדוע ABDC=2\frac{AB}{DC}=\sqrt2DCAB​=2​, ומצאו את α\alphaα.

ה.

נתון k=8k=8k=8. חשבו את רדיוס המעגל (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

עוד 25 שאלות על משפט הסינוסים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משפט הסינוסים במשולש שקודקודו מרכז המעגל החסום (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=12$ , $\sphericalangle BAC=64^\circ$ , $\sphericalangle ABC=40^\circ$ . הנקודה $I$ היא מרכז המעגל החסום במשולש.
טרפז חסום שבו $CE = C A$ : קשר בין הזוויות, יחס שטחים וטווח ערכים (שאלה מלאה · קשה)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC,\ AB>DC)$ , החסום במעגל. המשכי השוקיים AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. ידוע כי $CE=CA$ . נסמן:…
משיק וחותך במעגל: דמיון משולשים ומשפט הסינוסים המורחב (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
מעגל, משיק וקוטר: משולש שווה-שוקיים $EF D$ , שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $tan α$ (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ . הנקודה $F$ נמצאת על הקוטר $AB$ ,…
משיק וחותך במעגל: $∠ D BC = 2 α$ , יחס שטחים כפונקציה של $α$ ותנאי קיום (שאלה מלאה · קשה)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ (מעבר לנקודה $A$ ) בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט.…
משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ : משיק, דמיון ויחסי שטחים - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $\angle ABC=2\angle ACB$ . נסמן…
טרפז חסום שבסיסו קוטר והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. הבסיס AB הוא קוטר המעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משולש שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: יחס השטחים כפונקציה של $\frac{A C}{A B}$ (שאלה מלאה · קשה)
המשולש ABC חסום במעגל, ומתקיים $\angle ABC=2\angle ACB$ . המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E, וחוצה הזווית BAC חותך את הצלע…
מעגל, משיק וחותך: זוויות במשולש שמחוץ למעגל, משפט הסינוסים ומרובע בר-חסימה (מספרים) (שאלה מלאה · קלה)
נתון מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5. מנקודה $E$ שמחוץ למעגל העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ בין $E$ ל- $B$ ). $C$ אמצע המיתר $AB$ ,…
מרובע חסום: זווית חיצונית ומשפט הסינוסים עם פרמטר (שאלה קצרה · בינונית)
המרובע ABCD חסום במעגל. הנקודה P נמצאת על המשך הצלע AB, מעבר לנקודה B, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ACD=30^\circ$ . נסמן: $\angle CBP=\beta$ ,…
מעגל, משיק וחותך: תנאי קיום, השוואת צלעות ובעיות הפוכות בזווית $α$ (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ , ו- $AB$ מיתר במעגל שאורכו $R$ . $E$ נקודה על המשך המיתר $BA$ מעבר לנקודה $A$ . מהנקודה $E$ העבירו ישר המשיק…
משולש שווה-שוקיים ומפגש חוצי הזוויות: חישובי צלעות ורדיוסים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס $\angle ABC=70^\circ$ ו- $BC=10$ . הנקודה $E$ היא מפגש חוצי הזוויות במשולש. המשך $CE$ חותך את…
משיק וחותך במעגל: זווית של $13 5^{\circ}$ , יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: יחס הבסיסים ושטח קבוע (שאלה מלאה · קשה)
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ , $AB<DC$ , $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $r$ . השוק $BC$ משיקה למעגל…
טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: זווית נתונה (שאלה מלאה · קלה)
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . השוק $BC$ משיקה למעגל בנקודה $F$ . המעגל חותך את הבסיס $DC$ …
משולש חסום שבו $∠ B = 2∠ C$ ומשיק בקודקוד: משפט הסינוסים ויחסי שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
המשולש ABC חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה A חותך את המשך הצלע CB בנקודה E. חוצה הזווית BAC חותך את הצלע BC בנקודה F (ראו סרטוט).
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ , $AE$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $AP=4\cdot PE$ .…
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים אי-זוגיים, מיתרים נחתכים ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$
מעגל, משיק וחותך: מיתר באורך $R 2$ , משפט הסינוסים ומעגל חוסם למרובע (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ …
טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: $D C = 1.6 k$ , $A D = 1.1 k$ ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ACB=\alpha$ , $AB=BC=k$ ,…
משולש שווה-שוקיים ומפגש חוצי הזוויות: יחס קטעים, יחס רדיוסים ואורך (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . הנקודה $E$ היא מפגש חוצי הזוויות במשולש. המשך $CE$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה…
חוצי זוויות במשולש ומשפט הסינוסים (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ : $\angle ABC=50^\circ$ , $\angle ACB=70^\circ$ , $BC=8$ . חוצי הזוויות $B$ ו- $C$ נפגשים בנקודה $E$ .
טרפז ישר זווית ומעגל על שוק כקוטר: זוויות ויחס קטעים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ , $\sphericalangle BCD=90^\circ$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . השוק $BC$ משיקה למעגל…
טריגונומטריה במעגל: משפט הסינוסים, יחס שטחים ופסילת פתרון (שאלה מלאה · בינונית)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הקודקוד $A$ נמצא בתוך המעגל, ומרכז המעגל $O$ נמצא על המשך הצלע…
טריגונומטריה במעגל: יחס שטחים כפרמטר ותחום הזווית (שאלה מלאה · בינונית)
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ , והמשך הצלע $AB$ מעבר ל- $A$ פוגש את…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: היקף מקסימלי ומשולש שווה שוקיים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 8
במשולש $ABC$ אורך הצלע $BC$ הוא $a$ . נתון: $\sphericalangle BAC=\alpha$ ( $\alpha$ ברדיאנים). נסמן: $\sphericalangle ABC=x$ ( $0<x<\pi-\alpha$ ).
מרכזי המעגלים החסומים במלבן: משפט הסינוסים וזווית של 45° · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 4
במלבן $ABCD$ הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABD$ , והנקודה $M$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $BDC$ . נסמן: $\sphericalangle ABD=\alpha$ , $BC=b$ , $AB=a$ .
מעגל, משיק וקוטר: זוויות בפרמטר, שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $sin 3 α$ · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 5
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המיתר $CD$ חותך את הקוטר $AB$ בנקודה $F$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ (ראו סרטוט).…
טרפז חסום במעגל והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ACB=60^\circ$ . נסמן: $\angle CDE=\alpha$ ,…
משיק וחותך במעגל: משפט הסינוסים המורחב, יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן: $\angle ABD=\alpha$ . נתון:…
מרובע חסום ומשיק: זוויות היקפיות, משפט הסינוסים עם זווית משולשת ויחסי שטחים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
המרובע ABCD חסום במעגל. אלכסוני המרובע נחתכים בנקודה F. המשיק למעגל בנקודה C חותך את המשך המיתר AB בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: $AB=CB$ .
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $BD$ ו- $AE$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $BP=3\cdot PD$ . נסמן: $AB=k$ ,…
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים זוגיים, מרובע חסום ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $48+144+288+\dots+6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$
מעגל, משיק וחותך מנקודה חיצונית: זוויות מרובע בר-חסימה, משפט הסינוסים ויחס שטחי מעגלים · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הגדולה…
טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: אלכסון, משפט הקוסינוסים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ACB=\alpha$ , $AB=BC=k$ , $0^\circ<\alpha<90^\circ$ .
משולש שווה-שוקיים ומפגש חוצי הזוויות: זווית, יחס רדיוסים ואורך · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . הנקודה $E$ היא מפגש חוצי-הזווית במשולש $ABC$ . המשך $CE$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ (ראה ציור).…
טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: זוויות ויחס קטעים · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 4
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ . השוק $BC$ משיקה למעגל בנקודה $F$ . המעגל חותך את הבסיס $DC$ בנקודה $E$ (ראה ציור).…
טריגונומטריה במעגל: משפט הסינוסים, יחס שטחים ופסילת פתרון · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
הקודקודים $B$ ו- $C$ של משולש $ABC$ נמצאים על מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . מרכז המעגל נמצא על הצלע $AB$ . המשך הצלע $AB$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ . נתון:…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משפט הסינוסים: חישוב צלע (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הנקודות $B(8,0)$ , $C(0,-4)$ ו- $D(-5,0)$ . הנקודה $E$ נמצאת על המשך הקטע $BC$ (מעבר ל- $C$ ), כך ש- $DE=DC$ …
משפט הסינוסים: חישוב צלע (שאלה קצרה · קלה)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ ) נתון: $\angle ABC=50^\circ$ , $DC=8$ . הנקודה $E$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ מעבר…
משפט הסינוסים: חישוב צלע (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABE$ הזווית $E$ ישרה, $AE=6$ ו- $BE=8$ . הנקודה $G$ נמצאת על המשך הצלע $BE$ מעבר לנקודה $E$ , כך…