מבחן לדוגמה: sin(180°−α)=sinα וזוויות משלימות בבעיות גאומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

חשבו את $\alpha$.

הסבירו מדוע $\sphericalangle OAB=45^\circ$ ו-$\sphericalangle OBA=\frac{\alpha}{2}$. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש $AOB$, וחשבו את $BO$.

הראו כי $\sphericalangle OBM=45^\circ$.

חשבו את $BM$ (היעזרו במשולש $BMC$), ואת שטח המשולש $OBM$.

הסבירו מדוע $\sphericalangle ACB=\frac\pi3-x$, והביעו באמצעות $x$ את אורכי הצלעות $AC$ ו-$AB$.

הראו כי היקף המשולש הוא $P(x)=6+4\sqrt3\left(\sin x+\sin\left(\frac\pi3-x\right)\right)$, ומצאו את $P'(x)$.

מצאו את ערך ה-$x$ שבעבורו היקף המשולש מקסימלי, ואת ההיקף המקסימלי.

איזה משולש מתקבל כשההיקף מקסימלי? מה אורכי הצלעות $AB$ ו-$AC$ במשולש זה?

הביעו באמצעות R ו-$\alpha$ את שטחי המשולשים ABC ו-ODC.

נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא: $2\sqrt2\sin(85^\circ)$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC כך ש-$\angle CAE=55^\circ$, כמתואר בסרטוט.

הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.

הביעו את $DO$ ואת $CO$ באמצעות $a$ ו-$\alpha$.

הראו כי $\sphericalangle OCM=45^\circ$.

נתון: $AC=15$, $BC=20$.

חשבו את $\alpha$.

חשבו את שטח המשולש $OCM$.

הביעו באמצעות $\alpha$, $\beta$ ו-$k$ את אורכי הקטעים $AE$ ו-$BP$.

נתון כי $AE$ ו-$BD$ מאונכים זה לזה, וכי שטח המשולש $ABE$ הוא $0.3k^2$.

מצאו את גודל הזווית $\alpha$.

מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש $BDC$ ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש $BDA$.

הביעו באמצעות $k$, $\alpha$ ו-$n$ את אורכי הקטעים $BD$ ו-$AD$.

הביעו את $\tan\alpha$ באמצעות $n$.

הביעו באמצעות $k$ ו-$n$ את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AEC$.

האם ייתכן שרדיוס המעגל החוסם את המשולש $AEC$ שווה לאורך הצלע $AB$? נמקו.

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AEC$ הוא $\frac{3\sqrt2}{4}k$. מצאו את $n$.