שאלות פתוחות: sin(180°−α)=sinα וזוויות משלימות בבעיות גאומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות שבהן משתמשים בכך ש-sin(180°−α)=sinα ובזוויות משלימות, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות משווים שטחים של משולשים שיש להם זוויות משלימות, כמו במשולש שבו התיכון BD מאונך ל-AE, ומבטאים צלעות של משולש בעזרת זווית ופרמטר. יש גם שאלות על משולש ישר-זווית עם גובה ליתר ועל מלבן עם מרכזי מעגלים חסומים. רוב השאלות בינוניות. אפשר לבחור מכאן לבוחן או לדף עבודה כחזרה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא בקובץ Word.

12 שאלותקלה: 3בינונית: 8קשה: 1

שאלה 1 · משולש עם צלע 6 וזווית $\frac{2 π}{3}$ מולה: היקף מקסימלישאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא 6, ו-∢BAC=2π3\sphericalangle BAC=\frac{2\pi}{3}∢BAC=32π​. נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x (0<x<π30<x<\frac\pi30<x<3π​).

א.

הסבירו מדוע ∢ACB=π3−x\sphericalangle ACB=\frac\pi3-x∢ACB=3π​−x, והביעו באמצעות xxx את אורכי הצלעות ACACAC ו-ABABAB.

ב.

הראו כי היקף המשולש הוא P(x)=6+43(sin⁡x+sin⁡(π3−x))P(x)=6+4\sqrt3\left(\sin x+\sin\left(\frac\pi3-x\right)\right)P(x)=6+43​(sinx+sin(3π​−x)), ומצאו את P′(x)P'(x)P′(x).

ג.

מצאו את ערך ה-xxx שבעבורו היקף המשולש מקסימלי, ואת ההיקף המקסימלי.

ד.

איזה משולש מתקבל כשההיקף מקסימלי? מה אורכי הצלעות ABABAB ו-ACACAC במשולש זה?

שאלה 2 · משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: שטח מקסימלי ומשולש שווה שוקייםשאלה מלאה · בינונית

במשולש ABCABCABC אורך הצלע ACACAC הוא bbb. נתון: ∢ABC=β\sphericalangle ABC=\beta∢ABC=β (β\betaβ ברדיאנים). נסמן: ∢BAC=x\sphericalangle BAC=x∢BAC=x (0<x<π−β0<x<\pi-\beta0<x<π−β).

א.

הביעו באמצעות xxx, β\betaβ ו-bbb את שטח המשולש ABCABCABC.

ב.

הביעו באמצעות β\betaβ את ערך ה-xxx שבעבורו שטח המשולש ABCABCABC הוא מקסימלי.

ג.

הסבירו מדוע מתקיים המשפט הזה: מכל המשולשים בעלי צלע נתונה וזווית מולה נתונה, המשולש בעל השטח המקסימלי הוא משולש שווה שוקיים.

שאלה 3 · תיכון וחותך מאונכים עם יחס פרמטרי: מתי הזווית B ישרה, ורדיוס המעגל החוסםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC, BDBDBD הוא תיכון לצלע ACACAC. הנקודה EEE נמצאת על הצלע BCBCBC. AEAEAE ו-BDBDBD נחתכים בנקודה PPP ומאונכים זה לזה (ראו סרטוט).
נתון: BP=n⋅PDBP=n\cdot PDBP=n⋅PD, כאשר n>0n>0n>0 הוא פרמטר.
נסמן: AB=kAB=kAB=k, ∠BAP=α\angle BAP=\alpha∠BAP=α.
ABCDEP

א.

הביעו באמצעות kkk, α\alphaα ו-nnn את אורכי הקטעים BDBDBD ו-ADADAD.

בסעיפים ב-ה נתון גם: ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘.

ב.

הביעו את tan⁡α\tan\alphatanα באמצעות nnn.

ג.

הביעו באמצעות kkk ו-nnn את רדיוס המעגל החוסם את המשולש AECAECAEC.

ד.

האם ייתכן שרדיוס המעגל החוסם את המשולש AECAECAEC שווה לאורך הצלע ABABAB? נמקו.

ה.

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש AECAECAEC הוא 324k\frac{3\sqrt2}{4}k432​​k. מצאו את nnn.

שאלה 4 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן במידות נתונותשאלה מלאה · קלה

במלבן ABCDABCDABCD נתון: AB=12AB=12AB=12, BC=5BC=5BC=5.
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC. נסמן ∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α.
ABCDOM

א.

חשבו את α\alphaα.

ב.

הסבירו מדוע ∢OAB=45∘\sphericalangle OAB=45^\circ∢OAB=45∘ ו-∢OBA=α2\sphericalangle OBA=\frac{\alpha}{2}∢OBA=2α​. היעזרו במשפט הסינוסים במשולש AOBAOBAOB, וחשבו את BOBOBO.

ג.

הראו כי ∢OBM=45∘\sphericalangle OBM=45^\circ∢OBM=45∘.

ד.

חשבו את BMBMBM (היעזרו במשולש BMCBMCBMC), ואת שטח המשולש OBMOBMOBM.

שאלה 5 · מרכזי המעגלים החסומים משני צדי הגובה ליתר: משפט הסינוסים וזווית של 45°שאלה מלאה · בינונית

במשולש ישר-זווית ABCABCABC (∢ACB=90∘\sphericalangle ACB=90^\circ∢ACB=90∘) הקטע CDCDCD הוא הגובה ליתר ABABAB.
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ACDACDACD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BCDBCDBCD.
נסמן: ∢CAB=α\sphericalangle CAB=\alpha∢CAB=α, CD=aCD=aCD=a.
ABCDOM

א.

הביעו את DODODO ואת COCOCO באמצעות aaa ו-α\alphaα.

ב.

הראו כי ∢OCM=45∘\sphericalangle OCM=45^\circ∢OCM=45∘.

ג.

נתון: AC=15AC=15AC=15, BC=20BC=20BC=20.

חשבו את α\alphaα.

ד.

חשבו את שטח המשולש OCMOCMOCM.

שאלה 6 · תיכון וחותך מאונכים במשולש: חישוב קטעים, שטח ויחס רדיוסיםשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC, BDBDBD הוא תיכון לצלע ACACAC. הנקודה EEE נמצאת על הצלע BCBCBC. AEAEAE ו-BDBDBD נחתכים בנקודה PPP ומאונכים זה לזה (ראו סרטוט).
נתון: BP=5⋅PDBP=5\cdot PDBP=5⋅PD, AB=10AB=10AB=10, ∠BAP=35∘\angle BAP=35^\circ∠BAP=35∘.
ABCDEP

א.

חשבו את אורכי הקטעים APAPAP ו-BPBPBP.

ב.

חשבו את שטח המשולש ABDABDABD.

ג.

חשבו את אורך הצלע ACACAC.

ד.

הראו כי היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AECAECAEC ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEBAEBAEB שווה ל-ACAB\frac{AC}{AB}ABAC​, וחשבו את היחס.

שאלה 7 · תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמיםשאלה מלאה · בינונית

במשולש ABCABCABC, AEAEAE הוא תיכון לצלע BCBCBC. הנקודה DDD נמצאת על הצלע ACACAC. AEAEAE ו-BDBDBD נחתכים בנקודה PPP (ראו סרטוט).
נתון: AP=4⋅PEAP=4\cdot PEAP=4⋅PE.
נסמן: AB=kAB=kAB=k, ∠BAP=α\angle BAP=\alpha∠BAP=α, ∠ABP=β\angle ABP=\beta∠ABP=β, α<β\alpha<\betaα<β.
ABCDEP

א.

הביעו באמצעות α\alphaα, β\betaβ ו-kkk את אורכי הקטעים AEAEAE ו-BPBPBP.

ב.

נתון כי AEAEAE ו-BDBDBD מאונכים זה לזה, וכי שטח המשולש ABEABEABE הוא 0.3k20.3k^20.3k2.

מצאו את גודל הזווית α\alphaα.

ג.

מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש BDCBDCBDC ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש BDABDABDA.

שאלה 8 · משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, פסילת פתרון ורדיוס מעגל חסוםשאלה מלאה · בינונית

משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: ∠ABC=45∘\angle ABC=45^\circ∠ABC=45∘. נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
OABCDE

א.

הביעו באמצעות R ו-α\alphaα את שטחי המשולשים ABC ו-ODC.

ב.

נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא: 22sin⁡(85∘)2\sqrt2\sin(85^\circ)22​sin(85∘).

מצאו את הערך של α\alphaα.

ג.

הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC כך ש-∠CAE=55∘\angle CAE=55^\circ∠CAE=55∘, כמתואר בסרטוט.

הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: היקף מקסימלי ומשולש שווה שוקיים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 8
במשולש $ABC$ אורך הצלע $BC$ הוא $a$ . נתון: $\sphericalangle BAC=\alpha$ ( $\alpha$ ברדיאנים). נסמן: $\sphericalangle ABC=x$ ( $0<x<\pi-\alpha$ ).
מרכזי המעגלים החסומים במלבן: משפט הסינוסים וזווית של 45° · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 4
במלבן $ABCD$ הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABD$ , והנקודה $M$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $BDC$ . נסמן: $\sphericalangle ABD=\alpha$ , $BC=b$ , $AB=a$ .
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $BD$ ו- $AE$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $BP=3\cdot PD$ . נסמן: $AB=k$ ,…
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, משוואה $sin x = sin β$ ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 5
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=60^\circ$ . נסמן: $\angle BAC=\alpha$ .