מבחן לדוגמה: מצולעים משוכללים חסומים במעגל וחוסמים מעגל - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $x$.

הראו כי סכום השטחים של שתי הצורות הוא $S(x)=\frac{\sqrt3}{4}x^2+\frac{3\sqrt3}{2}\left(2-\frac x2\right)^2$. (משושה משוכלל מורכב משישה משולשים שווי-צלעות.)

מצאו את $x$ שבעבורו סכום השטחים מינימלי, ואת סכום השטחים המינימלי.

הראו כי כאשר סכום השטחים מינימלי, רדיוס המעגל החסום במשולש שווה לרדיוס המעגל החסום במשושה.

הראו כי שטח המצולע הוא $3R^2$.

אפשר לחסום מעגל במצולע (המעגל משיק לכל צלעותיו). הביעו באמצעות $R$ את אורך צלע המצולע ואת רדיוס המעגל החסום בו.

מצאו את מספר הצלעות של המצולע ואת שטחו.

הביעו באמצעות $R$ את השטח של כל אחד משני המשושים.

מצאו את היחס בין שטח המשושה החסום במעגל לשטח המשושה החוסם את המעגל.

מצאו את היקף המצולע, ואת האומדן של $\pi$ המתקבל מהיחס בין היקף המצולע לבין קוטר המעגל.

מצאו את זוויות המשולש $ACD$.

חשבו את אורך האלכסון $AC$, והסבירו מדוע $AD=AC$.

חשבו את שטח המחומש.