מבחן לדוגמה: קיצון ללא נגזרת: תכונות הפונקציות הטריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על קיצון ללא נגזרת: תכונות הפונקציות הטריגונומטריות (טריגונומטריה במצולעים ובמעגל (חומר קודם)), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

קיצון ללא נגזרת: תכונות הפונקציות הטריגונומטריות

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · השטח הגדול ביותר של מעוין שזוויותיו משתנותשאלה קצרה · קלה

ארבעה מוטות שאורך כל אחד מהם 555 ס"מ מחוברים בצירים בקצותיהם, ויוצרים מעוין שאפשר לשנות את זוויותיו. נסמן ב-θ\thetaθ את אחת מזוויות המעוין (0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ0∘<θ<180∘).

מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המעוין, ובאיזו זווית θ\thetaθ הוא מתקבל? איזו צורה מתקבלת אז?

שאלה 2 · השטח הגדול ביותר של משולש ששתי צלעותיו קבועותשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: AB=6AB=6AB=6, AC=10AC=10AC=10. הזווית ∠BAC=θ\angle BAC=\theta∠BAC=θ יכולה להשתנות (0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ0∘<θ<180∘).

א.

הביעו את שטח המשולש באמצעות θ\thetaθ. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי, ובאיזו זווית θ\thetaθ הוא מתקבל?

ב.

מצאו את כל הזוויות θ\thetaθ שבעבורן שטח המשולש הוא 202020.

שאלה 3 · הצלע הארוכה ביותר כאשר צלע והזווית שמולה קבועותשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון: BC=10BC=10BC=10, ∠BAC=30∘\angle BAC=30^\circ∠BAC=30∘. הזוויות ∠ABC=β\angle ABC=\beta∠ABC=β ו-∠ACB=γ\angle ACB=\gamma∠ACB=γ אינן ידועות.

מהו האורך הגדול ביותר האפשרי של הצלע ABABAB? מצאו את זוויות המשולש במקרה זה ואת אורך הצלע ACACAC.

שאלה 4 · מרחק ושטח כאשר נקודה נעה על מעגלשאלת ביניים · בינונית

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 444. הנקודה AAA נמצאת מחוץ למעגל, ו-OA=6OA=6OA=6. הנקודה PPP נעה על המעגל. נסמן: ∠AOP=θ\angle AOP=\theta∠AOP=θ (0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ0∘≤θ≤180∘).
θOAP

א.

הביעו באמצעות θ\thetaθ את AP2AP^2AP2.

ב.

מצאו את המרחק הקטן ביותר ואת המרחק הגדול ביותר בין AAA לבין PPP, ואת הזווית θ\thetaθ בכל אחד מהמקרים.

ג.

מצאו את θ\thetaθ שבעבורו AP=213AP=2\sqrt{13}AP=213​. הראו כי במצב זה שטח המשולש AOPAOPAOP הוא הגדול ביותר האפשרי, וחשבו את השטח הזה.

שאלה 5 · חסם עליון ליחס שטחים ותיכון במשולששאלת ביניים · קשה

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC. נתון: AB=8AB=8AB=8, AC=6AC=6AC=6, ∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ∠CAD=30∘. נסמן: ∠BAD=α\angle BAD=\alpha∠BAD=α.
30°αABCD

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס S△ABDS△ADC\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}S△ADC​S△ABD​​.

ב.

הוכיחו כי S△ABDS△ADC≤83\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}\le\frac83S△ADC​S△ABD​​≤38​, ומצאו את α\alphaα שבעבורו מתקבל שוויון. מהו גודל הזווית BACBACBAC במקרה זה?

ג.

נתון כעת כי ADADAD הוא תיכון במשולש ABCABCABC. מצאו את α\alphaα (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

שאלה 6 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן: שטח כפונקציה של הזווית, בעיה הפוכה ומקסימוםשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD אורך האלכסון BDBDBD הוא ddd, ו-∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α (0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘).
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC.
ABCDOM

א.

הביעו את BOBOBO ואת BMBMBM באמצעות ddd ו-α\alphaα, בצורה הפשוטה ביותר.

ב.

הביעו את שטח המשולש OBMOBMOBM באמצעות ddd ו-α\alphaα.

ג.

נתון: BD=20BD=20BD=20, ושטח המשולש OBMOBMOBM הוא 50(3−1)50\left(\sqrt3-1\right)50(3​−1).

מצאו את α\alphaα.

ד.

עבור BD=20BD=20BD=20, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש OBMOBMOBM? באיזה מלבן הוא מתקבל?

שאלה 1 · השטח הגדול ביותר של מעוין שזוויותיו משתנותשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · השטח הגדול ביותר של משולש ששתי צלעותיו קבועותשאלה קצרה · קלה

שאלה 3 · הצלע הארוכה ביותר כאשר צלע והזווית שמולה קבועותשאלה קצרה · בינונית

שאלה 4 · מרחק ושטח כאשר נקודה נעה על מעגלשאלת ביניים · בינונית

שאלה 5 · חסם עליון ליחס שטחים ותיכון במשולששאלת ביניים · קשה

שאלה 6 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן: שטח כפונקציה של הזווית, בעיה הפוכה ומקסימוםשאלה מלאה · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד