שאלות פתוחות: קיצון ללא נגזרת: תכונות הפונקציות הטריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

בדף הזה 8 שאלות פתוחות במתמטיקה על קיצון ללא נגזרת: תכונות הפונקציות הטריגונומטריות, לתלמידי כיתה י"א 5 יח"ל, מתוך הנושא "טריגונומטריה במצולעים ובמעגל (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

8 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 3

שאלה 1 · השטח הגדול ביותר של מעוין שזוויותיו משתנותשאלה קצרה · קלה

ארבעה מוטות שאורך כל אחד מהם 555 ס"מ מחוברים בצירים בקצותיהם, ויוצרים מעוין שאפשר לשנות את זוויותיו. נסמן ב-θ\thetaθ את אחת מזוויות המעוין (0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ0∘<θ<180∘).

מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המעוין, ובאיזו זווית θ\thetaθ הוא מתקבל? איזו צורה מתקבלת אז?

שאלה 2 · הצלע הארוכה ביותר כאשר צלע והזווית שמולה קבועותשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC נתון: BC=10BC=10BC=10, ∠BAC=30∘\angle BAC=30^\circ∠BAC=30∘. הזוויות ∠ABC=β\angle ABC=\beta∠ABC=β ו-∠ACB=γ\angle ACB=\gamma∠ACB=γ אינן ידועות.

מהו האורך הגדול ביותר האפשרי של הצלע ABABAB? מצאו את זוויות המשולש במקרה זה ואת אורך הצלע ACACAC.

שאלה 3 · מרכזי המעגלים החסומים במלבן: שטח כפונקציה של הזווית, בעיה הפוכה ומקסימוםשאלה מלאה · קשה

במלבן ABCDABCDABCD אורך האלכסון BDBDBD הוא ddd, ו-∢ABD=α\sphericalangle ABD=\alpha∢ABD=α (0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘).
הנקודה OOO היא מרכז המעגל החסום במשולש ABDABDABD, והנקודה MMM היא מרכז המעגל החסום במשולש BDCBDCBDC.
ABCDOM

א.

הביעו את BOBOBO ואת BMBMBM באמצעות ddd ו-α\alphaα, בצורה הפשוטה ביותר.

ב.

הביעו את שטח המשולש OBMOBMOBM באמצעות ddd ו-α\alphaα.

ג.

נתון: BD=20BD=20BD=20, ושטח המשולש OBMOBMOBM הוא 50(3−1)50\left(\sqrt3-1\right)50(3​−1).

מצאו את α\alphaα.

ד.

עבור BD=20BD=20BD=20, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש OBMOBMOBM? באיזה מלבן הוא מתקבל?

שאלה 4 · השטח הגדול ביותר של משולש ששתי צלעותיו קבועותשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: AB=6AB=6AB=6, AC=10AC=10AC=10. הזווית ∠BAC=θ\angle BAC=\theta∠BAC=θ יכולה להשתנות (0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ0∘<θ<180∘).

א.

הביעו את שטח המשולש באמצעות θ\thetaθ. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי, ובאיזו זווית θ\thetaθ הוא מתקבל?

ב.

מצאו את כל הזוויות θ\thetaθ שבעבורן שטח המשולש הוא 202020.

שאלה 5 · המלבן בעל השטח הגדול ביותר החסום במעגלשאלה קצרה · בינונית

מלבן ABCDABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 555. נסמן: ∠AOB=θ\angle AOB=\theta∠AOB=θ (0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ0∘<θ<180∘).

א.

הראו כי שטח המלבן הוא 50sin⁡θ50\sin\theta50sinθ. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי, ואיזה מלבן מתקבל אז?

ב.

מצאו את כל הערכים של θ\thetaθ שבעבורם שטח המלבן הוא 252525.

שאלה 6 · שטח מרובע שקודקוד אחד שלו נע על רבע מעגלשאלה קצרה · קשה

AOBAOBAOB הוא רבע עיגול שמרכזו OOO ורדיוסו 444 (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ∠AOB=90∘). הנקודה PPP נעה על הקשת ABABAB, בין AAA ל-BBB. נסמן: ∠AOP=θ\angle AOP=\theta∠AOP=θ (0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ0∘<θ<90∘).
θOABP

הוכיחו כי שטח המרובע OAPBOAPBOAPB אינו עולה על 828\sqrt282​, ומצאו את θ\thetaθ שבעבורו השטח שווה ל-828\sqrt282​.

שאלה 7 · מרחק ושטח כאשר נקודה נעה על מעגלשאלת ביניים · בינונית

נתון מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 444. הנקודה AAA נמצאת מחוץ למעגל, ו-OA=6OA=6OA=6. הנקודה PPP נעה על המעגל. נסמן: ∠AOP=θ\angle AOP=\theta∠AOP=θ (0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ0∘≤θ≤180∘).
θOAP

א.

הביעו באמצעות θ\thetaθ את AP2AP^2AP2.

ב.

מצאו את המרחק הקטן ביותר ואת המרחק הגדול ביותר בין AAA לבין PPP, ואת הזווית θ\thetaθ בכל אחד מהמקרים.

ג.

מצאו את θ\thetaθ שבעבורו AP=213AP=2\sqrt{13}AP=213​. הראו כי במצב זה שטח המשולש AOPAOPAOP הוא הגדול ביותר האפשרי, וחשבו את השטח הזה.

שאלה 8 · חסם עליון ליחס שטחים ותיכון במשולששאלת ביניים · קשה

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC. נתון: AB=8AB=8AB=8, AC=6AC=6AC=6, ∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ∠CAD=30∘. נסמן: ∠BAD=α\angle BAD=\alpha∠BAD=α.
30°αABCD

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס S△ABDS△ADC\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}S△ADC​S△ABD​​.

ב.

הוכיחו כי S△ABDS△ADC≤83\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}\le\frac83S△ADC​S△ABD​​≤38​, ומצאו את α\alphaα שבעבורו מתקבל שוויון. מהו גודל הזווית BACBACBAC במקרה זה?

ג.

נתון כעת כי ADADAD הוא תיכון במשולש ABCABCABC. מצאו את α\alphaα (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).