דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: קירוב הצטברות של פונקציה כללית בעזרת מלבנים - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על קירוב הצטברות של פונקציה כללית בעזרת מלבנים (פונקציית ההצטברות ומושג האינטגרל), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
קירוב הצטברות של פונקציה כללית בעזרת מלבנים
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · קירוב הצטברות של פונקציה כללית בעזרת מלבניםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x+cf(x)=2x+c בקטע [0,4][0,4], כאשר c>0c>0. מחלקים את הקטע ל-44 תת-קטעים שווי רוחב, ובונים בכל תת-קטע מלבן שגובהו הוא ערך הפונקציה בקצה השמאלי של תת-הקטע. סכום שטחי ארבעת המלבנים הוא 2020.

א.

מצאו את cc.

ב.

חשבו את השטח המדויק שמתחת לגרף ff בקטע [0,4][0,4], וקבעו אם סכום המלבנים שבסעיף א' גדול או קטן ממנו.

שאלה 2 · קירוב הצטברות של פונקציה כללית בעזרת מלבניםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x בקטע [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. מחלקים את הקטע לשלושה תת-קטעים שווי רוחב, ובונים בכל תת-קטע מלבן שגובהו הוא ערך הפונקציה בקצה הימני של תת-הקטע (בסרטוט: גרף הפונקציה וקווי החלוקה).

π/6π/3π/2
א.

חשבו את סכום שטחי שלושת המלבנים. הביעו את התשובה באמצעות π\pi ושורשים.

ב.

האם סכום המלבנים גדול מהשטח המדויק שמתחת לגרף בקטע או קטן ממנו? נמקו בלי לחשב את השטח המדויק.

שאלה 3 · קירוב הצטברות של פונקציה כללית בעזרת מלבניםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2| בקטע [0,5][0,5]. מחלקים את הקטע ל-55 תת-קטעים שווי רוחב. לכל תת-קטע בונים מלבן חוסם (גובהו הערך הגדול ביותר של ff בתת-הקטע) ומלבן חסום (גובהו הערך הקטן ביותר).

א.

חשבו את סכום שטחי המלבנים החוסמים ואת סכום שטחי המלבנים החסומים.

ב.

חשבו את השטח המדויק שבין גרף ff לציר ה-xx בקטע [0,5][0,5], והראו שהוא נמצא בין שני הסכומים שבסעיף א'.

שאלה 4 · סכום חוסם וסכום חסום של פונקציה יורדת והפרש ביניהםשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=4−x2f(x)=4-x^2 בקטע [0,2][0,2]. בקטע זה הפונקציה יורדת. בסרטוט שלפניכם: גרף הפונקציה וקווי החלוקה של הקטע לארבעה תת-קטעים שווי רוחב, בנקודות 0.50.5, 11 ו-1.51.5.

0.511.524
א.

מחלקים את הקטע ל-44 תת-קטעים שווי רוחב. חשבו את סכום שטחי ארבעת המלבנים שגובהם הוא ערך הפונקציה בקצה השמאלי של כל תת-קטע, ואת סכום שטחי ארבעת המלבנים שגובהם הוא ערך הפונקציה בקצה הימני. איזה מהסכומים הוא סכום של מלבנים חוסמים? נמקו.

ב.

הסבירו מדוע ההפרש בין שני הסכומים שבסעיף א שווה ל-0.5⋅(f(0)−f(2))0.5\cdot\left(f(0)-f(2)\right), ובדקו זאת במספרים. הראו כי כאשר מחלקים את הקטע ל-nn תת-קטעים שווי רוחב, ההפרש בין סכום המלבנים החוסמים לסכום המלבנים החסומים הוא 8n\frac{8}{n}.

ג.

כאשר מחלקים את הקטע ל-88 תת-קטעים שווי רוחב, סכום המלבנים החסומים הוא 4.81254.8125. מצאו, בלי לחשב את שטחי המלבנים, את סכום המלבנים החוסמים בחלוקה זו. ציינו קטע שבו נמצא השטח המדויק שמתחת לגרף ff בקטע [0,2][0,2], צר יותר מהקטע שמתקבל מסעיף א.

שאלה 5 · קירוב הצטברות של פונקציה כללית בעזרת מלבניםשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xf(x)=x בקטע [0,4][0,4]. מחלקים את הקטע ל-nn תת-קטעים שווי רוחב, ובונים בכל תת-קטע מלבן שגובהו הוא ערך הפונקציה בקצה השמאלי של תת-הקטע. מסמנים ב-SnS_n את סכום שטחי המלבנים.

מצאו את nn שעבורו SnS_n קטן מהשטח המדויק שמתחת לגרף בקטע בדיוק ב-0.250.25.

שאלה 6 · נוסחה לסכום מלבנים חוסמים של פרבולה והתקרבות לשטחשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x2f(x)=3x^2 בקטע [0,2][0,2]. מחלקים את הקטע ל-nn תת-קטעים שווי רוחב, ובונים בכל תת-קטע מלבן שגובהו הוא ערך הפונקציה בקצה הימני של תת-הקטע. נסמן ב-UnU_n את סכום שטחי nn המלבנים.

ידוע כי לכל nn טבעי: 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)61^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

א.

חשבו את U4U_4, והסבירו מדוע UnU_n גדול מהשטח המדויק שמתחת לגרף ff בקטע [0,2][0,2] לכל nn.

ב.

הראו כי Un=4(n+1)(2n+1)n2U_n=\frac{4(n+1)(2n+1)}{n^2}, ובדקו את הנוסחה בעזרת התוצאה של סעיף א.

ג.

הראו כי Un=8+12n+4n2U_n=8+\frac{12}{n}+\frac{4}{n^2}. לאיזה מספר מתקרב UnU_n כאשר nn גדל מאוד? מה אפשר להסיק מכך על השטח המדויק שמתחת לגרף ff בקטע [0,2][0,2], אם ידוע שגם סכומי המלבנים החסומים מתקרבים לאותו מספר?

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.