מבחן לדוגמה: פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫ - כיתה י"א 5 יח"ל

חשבו את $\int_{-3}^{3}\left(f(x)+2\right)dx$. נמקו כל שלב.

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ($BC\parallel AD$) וטרפז BCDE ($CD\parallel BE$). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: $EM=BM$, $ED\perp AD$, $AB\perp BM$. נסמן: $\angle EMD=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^2(x-2)$ ו-$g(x)=x^3(x-2)$. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד של כל פונקציה.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$, ומצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

חשבו את הערכים של: $h(0)$, $h(4)$, $h(6)$.

חשבו את $F(2)$, $F(4)$, $F(6)$ ו-$F(8)$.

נתונה הפונקציה $G(x)=\int_3^x f(t)\,dt$ בתחום $0\le x\le8$. חשבו את $F(3)$, והראו כי $G(x)=F(x)-F(3)$ לכל $x$ בתחום. חשבו את $G(8)$ ואת $G(0)$.

מצאו את כל הערכים של $x$ בתחום $0\le x\le8$ שבעבורם $G(x)=0$.

חשבו את $\int_1^4 f(x)\,dx$. הסבירו מדוע $F(-x)=-F(x)$ לכל $x$ בתחום, וחשבו את $F(-1)$ ואת $F(-4)$.

חשבו את $\int_{-4}^{1} f(x)\,dx$ ואת $\int_{-1}^{4} f(x)\,dx$.

נתונה הפונקציה $H(x)=\int_{-4}^{x} f(t)\,dt$ בתחום $-4\le x\le4$. הביעו את $H(x)$ באמצעות $F(x)$, וחשבו את $H(1)$ ואת $H(4)$. הראו כי הסכום $H(x)+H(-x)$ שווה לאותו מספר לכל $x$ בתחום, ומצאו אותו.

לפניכם טענה:

אם ל-$n$ טבעי מסוים $8^n+k$ מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם $8^{n+1}+k$ מתחלק ב-7 ללא שארית ($k$ מספר שלם).

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)$ בתחום $-1\le x\le4$. נגדיר $F(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dx$, $-1<a\le4$.

נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ שהפרשה $d\ne0$.