שאלות פתוחות: פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫ - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על פונקציית ההצטברות - הגדרה, תכונות והסימון ∫ - לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות משתמשים בתכונות של פונקציה זוגית ואי-זוגית כדי לחשב אינטגרלים, קוראים מגרף של f את ערכי פונקציית ההצטברות h(t), ומטפלים בשטחים המוגבלים על ידי גרף וישר. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות ומעט קשות. אפשר לשלב אותן במבחן או בדף עבודה בפרק האינטגרל, ולכל שאלה יש פתרון מלא שיוצא יחד איתה לקובץ Word.

37 שאלותקלה: 8בינונית: 25קשה: 4

שאלה 1 · פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫שאלה קצרה · קלה

fff היא פונקציה רציפה ואי-זוגית, ונתון כי ∫03f(x) dx=5\int_0^3 f(x)\,dx=5∫03​f(x)dx=5.

חשבו את ∫−33(f(x)+2)dx\int_{-3}^{3}\left(f(x)+2\right)dx∫−33​(f(x)+2)dx. נמקו כל שלב.

שאלה 2 · שאלות קצרות: פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, כוכב בעל 7 קודקודיםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם: גרף של פונקציה אי-זוגית f(x)f(x)f(x) בתחום: −3≤x≤3-3\le x\le3−3≤x≤3 והישרים: y=−1y=-1y=−1, y=1y=1y=1. קבעו עבור כל אחת מן הטענות הבאות אם היא נכונה או לא. נמקו.
f(x)y=1y=−1
-4-3-2-11234-2-112

(1)

∫−31f(x)dx=−∫13f(x)dx\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx∫−31​f(x)dx=−∫13​f(x)dx

(2)

∫03(f(x))3dx>−∫−30f(x)dx\int_0^3 (f(x))^3dx>-\int_{-3}^{0}f(x)dx∫03​(f(x))3dx>−∫−30​f(x)dx

ב.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:
AAAAˉ\bar AAˉסה"כ
BBB6a2−186a^2-\frac186a2−81​3a3a3a
Bˉ\bar BBˉ
סה"כ2a2a2a111

	$A$	סה"כ
$B$	$6a^2-\frac18$	$3a$
$\bar B$
סה"כ	$2a$	$1$

(1)

האם המאורעות AAA ו-BBB תלויים זה בזה? נמקו.

(2)

נתון: P(Aˉ∩Bˉ)=5P(A∩B)P(\bar A\cap\bar B)=5P(A\cap B)P(Aˉ∩Bˉ)=5P(A∩B). חשבו את aaa.

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=ax2−x+53x2+3x−18f(x)=\frac{ax^2-x+5}{3x^2+3x-18}f(x)=3x2+3x−18ax2−x+5​. aaa הוא פרמטר חיובי. ציר ה-xxx והאסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים יוצרים מלבן ששטחו 10.

(1)

מהו הערך של הפרמטר aaa?

(2)

נתונה הפונקציה: g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1). מהו השטח של המלבן שנוצר על ידי ציר ה-xxx והאסימפטוטות של הפונקציה g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים? נמקו.

ד.

במעגל שמרכזו בנקודה OOO חסום כוכב בעל 7 קודקודים. הקודקודים AAA, BBB, CCC, DDD, EEE, FFF, GGG מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה, וצלעות הכוכב הן המיתרים ACACAC, CECECE, EGEGEG, GBGBGB, BDBDBD, DFDFDF, FAFAFA (ראו סרטוט).
OABCDEFG

הוכיחו שסכום 7 הזוויות של קודקודי הכוכב: ∢A+∢B+∢C+∢D+∢E+∢F+∢G\sphericalangle A+\sphericalangle B+\sphericalangle C+\sphericalangle D+\sphericalangle E+\sphericalangle F+\sphericalangle G∢A+∢B+∢C+∢D+∢E+∢F+∢G הוא 540∘540^\circ540∘.

שאלה 3 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 ללא שארית.

(2)

מצאו את כל המספרים השלמים ppp שבעבורם הביטוי 5n+1+p5^{n+1}+p5n+1+p מתחלק ב-20 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+kx)3f(x)=\left(x+\frac kx\right)^3f(x)=(x+xk​)3, כאשר k≠0k\ne0k=0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו לאילו ערכי kkk יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון. נמקו.

נתון: f′′(x)=6(x2+k)(x4−kx2+2k2)x5f''(x)=\frac{6(x^2+k)(x^4-kx^2+2k^2)}{x^5}f′′(x)=x56(x2+k)(x4−kx2+2k2)​.

(2)

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

מצאו את כל הערכים של ttt בתחום 0<t≤80<t\le80<t≤8 שבעבורם h(t)=0h(t)=0h(t)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של h(t)h(t)h(t) בתחום 0≤t≤80\le t\le80≤t≤8.

ד.

המעגל החסום במשולש DEF משיק לצלעות EF, DF ו-DE בנקודות A, B ו-C בהתאמה (ראו סרטוט). נסמן: ∠EDF=δ\angle EDF=\delta∠EDF=δ, ∠DEF=ε\angle DEF=\varepsilon∠DEF=ε.
ABCDEF

(1)

הביעו באמצעות δ\deltaδ ו-ε\varepsilonε את זוויות המשולש ABC.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC חד-זווית, יהיה המשולש DEF אשר יהיה.

שאלה 4 · שאלות קצרות מודרכות: התחלקות, גרף הנגזרת, הצטברות ומשיקיםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הראו כי 6n+1−1=6(6n−1)+56^{n+1}-1=6(6^n-1)+56n+1−1=6(6n−1)+5, והוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n−16^n-16n−1 מתחלק ב-5 ללא שארית.

(2)

הראו כי לכל nnn טבעי הביטוי 6n+1+46^{n+1}+46n+1+4 מתחלק ב-10 ללא שארית.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x2−1)3f(x)=(x^2-1)^3f(x)=(x2−1)3. לפניכם שני גרפים, I ו-II.
גרף I
גרף II

(1)

הראו כי f′(x)=6x(x2−1)2f'(x)=6x(x^2-1)^2f′(x)=6x(x2−1)2, וקבעו איזה מהגרפים I-II מתאר את f′(x)f'(x)f′(x). נמקו.

(2)

נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x) הן נקודות הקיצון של f′(x)f'(x)f′(x). היעזרו בגרף שבחרתם, וקבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤60\le x\le60≤x≤6, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
123456-2-112

(1)

חשבו את h(3)h(3)h(3) ואת h(6)h(6)h(6).

(2)

היעזרו בכך ש-h′(t)=f(t)h'(t)=f(t)h′(t)=f(t), וקבעו באיזה תחום h(t)h(t)h(t) עולה ובאיזה תחום היא יורדת.

ד.

לפניכם משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O. נתון: ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ∠BAC=50∘, ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ∠ABC=60∘. דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים בנקודות A ו-C נפגשים בנקודה D, המשיקים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה E, והמשיקים בנקודות B ו-C נפגשים בנקודה F (ראו סרטוט).
ABCDEFO

(1)

מצאו את גודל הזווית BOCBOCBOC.

(2)

מצאו את זוויות המשולש DEF.

שאלה 5 · פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫שאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם: גרף של פונקציה זוגית g(x)g(x)g(x) בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2 והישר y=1y=1y=1. בתחום זה 0≤g(x)≤10\le g(x)\le10≤g(x)≤1. קבעו עבור כל אחת מן הטענות הבאות אם היא נכונה או לא. נמקו.
g(x)y=1
-3-2-1123-112

א.

∫−22g(x)dx=2∫−20g(x)dx\int_{-2}^{2}g(x)dx=2\int_{-2}^{0}g(x)dx∫−22​g(x)dx=2∫−20​g(x)dx

ב.

∫02g(x) dx<∫−20g(x)dx\int_0^2\sqrt{g(x)}\,dx<\int_{-2}^{0}g(x)dx∫02​g(x)​dx<∫−20​g(x)dx

שאלה 6 · שאלת חובה מורחבת: צעד ובסיס עם פרמטר, זוגיות בכיוון ההפוך, הצטברות ותנאי לסדרהשאלה מלאה · קשה

ענו על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים:

א.

לפניכם טענה:
אם ל-nnn טבעי מסוים 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם 8n+1+k8^{n+1}+k8n+1+k מתחלק ב-7 ללא שארית (kkk מספר שלם).

(1)

הוכיחו שהטענה נכונה לכל מספר שלם kkk.

(2)

מצאו את כל ערכי kkk בתחום 0≤k≤200\le k\le200≤k≤20 שעבורם 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 לכל nnn טבעי.

ב.

(1)

נתונה פונקציה fff הגזירה לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה f′f'f′ זוגית. האם fff בהכרח אי-זוגית? הוכיחו או הציגו דוגמה נגדית.

(2)

נתונה פונקציה fff הגזירה לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה f′f'f′ אי-זוגית. האם fff בהכרח זוגית? הוכיחו או הציגו דוגמה נגדית.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)(x−1)(x−3)f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)f(x)=(x+1)(x−1)(x−3) בתחום −1≤x≤4-1\le x\le4−1≤x≤4. נגדיר F(a)=∫−1af(x) dxF(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dxF(a)=∫−1a​f(x)dx, −1<a≤4-1<a\le4−1<a≤4.

(1)

הביעו את F(a)F(a)F(a) באמצעות aaa, ומצאו את כל ערכי aaa בתחום שעבורם F(a)=0F(a)=0F(a)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר של F(a)F(a)F(a) בתחום −1<a≤4-1<a\le4−1<a≤4, ואת aaa שבו הוא מתקבל.

ד.

נתונה סדרה חשבונית a1,a2,…,a2n+1a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}a1​,a2​,…,a2n+1​ שהפרשה d≠0d\ne0d=0.

(1)

מצאו את כל ערכי kkk (1≤k≤2n+11\le k\le2n+11≤k≤2n+1) שעבורם a1a_1a1​, aka_kak​, a2n+1a_{2n+1}a2n+1​ (בסדר הזה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית.

(2)

האם ייתכן ש-a1a_1a1​, an+1a_{n+1}an+1​, a2n+1a_{2n+1}a2n+1​ הם גם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית? נמקו.

שאלה 7 · פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫שאלה קצרה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤60\le x\le60≤x≤6. נתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
123456-2-11234

א.

חשבו את h(2)h(2)h(2), h(3)h(3)h(3) ו-h(6)h(6)h(6).

ב.

חשבו את ∫26f(x) dx\int_2^6 f(x)\,dx∫26​f(x)dx, והסבירו את הקשר בינו לבין הערכים שמצאתם בסעיף א.

שאלה 8 · חקירת $\frac{s i n x}{1 - 2 c o s x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרליםשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡(x)1−2cos⁡(x)f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-2\cos(x)}}f(x)=1−2cos(x)​sin(x)​. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx (אם יש כאלה).

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ד.

מצאו את האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לציר ה-xxx.

ה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ו.

לפניכם שלושה ביטויים:
(1) ∫π2πf(x)dx(2) ∫π4π3f(x)dx(3) ∫π24π3f(x)dx(1)\ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}f(x)dx\qquad(2)\ \int_{\pi}^{\frac{4\pi}{3}}f(x)dx\qquad(3)\ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{4\pi}{3}}f(x)dx(1) ∫2π​π​f(x)dx(2) ∫π34π​​f(x)dx(3) ∫2π​34π​​f(x)dx

סדרו אותם מהקטן לגדול. פרטו את שיקוליכם.

ז.

חשבו את ערכו של הביטוי הגדול מבין השלושה.

שאלה 9 · טענות על אינטגרלים של פונקציה אי-זוגיתשאלה קצרה · קשה

בסרטוט שלפניכם: גרף של פונקציה אי-זוגית f(x)f(x)f(x) בתחום: −3≤x≤3-3\le x\le3−3≤x≤3 והישרים: y=−1y=-1y=−1, y=1y=1y=1. קבעו עבור כל אחת מן הטענות הבאות אם היא נכונה או לא. נמקו.
f(x)y=1y=−1
-4-3-2-11234-2-112

א.

∫−31f(x)dx=−∫13f(x)dx\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx∫−31​f(x)dx=−∫13​f(x)dx

ב.

∫03(f(x))3dx>−∫−30f(x)dx\int_0^3 (f(x))^3dx>-\int_{-3}^{0}f(x)dx∫03​(f(x))3dx>−∫−30​f(x)dx

שאלה 10 · שאלות קצרות בשלבים: אינדוקציה, משיקים, פונקציות שורש וגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1+2+22+…+2n−1=2n−11+2+2^2+\ldots+2^{n-1}=2^n-11+2+22+…+2n−1=2n−1

ב.

מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR מעבירים שני משיקים למעגל. המשיקים נוגעים במעגל בנקודות A ו-B (ראו סרטוט).
POAB

(1)

הוכיחו כי המרובע OAPB הוא בר חסימה במעגל.

(2)

נתון: PA=2RPA=2RPA=2R. הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את המרובע OAPB.

ג.

נתונות הפונקציות: f(x)=x2(x+3)f(x)=\sqrt{x^2(x+3)}f(x)=x2(x+3)​, k(x)=xx+3k(x)=x\sqrt{x+3}k(x)=xx+3​.

(1)

הראו כי f(x)=∣x∣x+3f(x)=|x|\sqrt{x+3}f(x)=∣x∣x+3​, ומצאו לכל אחת מהפונקציות fff ו-kkk את תחום ההגדרה ואת התחומים שבהם היא חיובית ושבהם היא שלילית.

לפניכם שני גרפים I ו-II.
גרף I
גרף II

(2)

קבעו איזה מן הגרפים מתאר את f(x)f(x)f(x) ואיזה מתאר את k(x)k(x)k(x). נמקו.

ד.

לפניכם גרף של פונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל x≠0x\neq0x=0. הישרים x=0x=0x=0 ו-y=0y=0y=0 הם אסימפטוטות של f(x)f(x)f(x), f(x)>0f(x)>0f(x)>0 בכל תחום הגדרתה, ו-f(x)f(x)f(x) קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה.
f(x)

(1)

קבעו באילו תחומים f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 ובאילו f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0. נמקו.

(2)

האם f′(x)f'(x)f′(x) עולה או יורדת בכל אחד מהתחומים x<0x<0x<0 ו-x>0x>0x>0? נמקו.

(3)

קבעו איזה מן המספרים גדול יותר: ∫12f(x)dx\int_1^2f(x)dx∫12​f(x)dx או ∫23f(x)dx\int_2^3f(x)dx∫23​f(x)dx, וקבעו את הסימן של ∫12f′(x)dx\int_1^2f'(x)dx∫12​f′(x)dx. נמקו.

עוד 18 שאלות על פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משולש המשיקים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $3^{2n}-1$ מתחלק ב-8 ללא שארית.
פונקציית ההצטברות של פונקציה זוגית (שאלת ביניים · קשה)
$f(x)$ היא פונקציה רציפה וזוגית בתחום $-4\le x\le4$ . נתונה הפונקציה $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ בתחום זה. ידוע כי $F(1)=2$ וכי $F(4)=-3$ .
חקירה מודרכת של $x^{2} - 16 - x$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt{x^2-16}-x$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac{2A}3+\frac{2A}{3^2}+\ldots+\frac{2A}{3^n}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)$
שאלות קצרות (מודרך): אינדוקציה, טרפז וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - 2)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי $\frac45+\frac4{25}+\frac4{125}+\ldots+\frac4{5^n}=1-\frac1{5^n}$ . בדקו את נכונות הטענה בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ .
פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫ (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם גרף של פונקציה $f(x)$ המוגדרת עבור $x>0$ . הישרים $x=0$ ו- $y=3$ הם אסימפטוטות של $f(x)$ . הפונקציה עולה וקעורה כלפי מטה בכל תחום…
פונקציית שורש מעל $x^{2}$ : חקירה, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2}$ .
חקירת $x + x^{2} + 16$ , השיקוף $- f (- x)$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\sqrt{x^2+16}$ .
ערכי פונקציית ההצטברות משטחים נתונים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ , ומצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה- $x$ . פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום…
פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $k(x)=\sqrt{x^2+7}$ .
שאלות קצרות: קטע מסכום באינדוקציה, משיק ורדיוס, אסימפטוטות של פונקציית שורש, הצטברות של פונקציה אי-זוגית (שאלה מלאה · בינונית)
חשבו את הערך של הביטוי: $7\cdot23+9\cdot29+\ldots+29\cdot89$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)^{2}$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ישר זווית וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - a) (x + b)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
פונקציה עם שורש של שבר: חקירה עם פרמטר, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac1x\sqrt{\frac{3x-k}{x}}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{x^2+4}$ .
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם טענה: אם ל- $n$ טבעי מסוים $5^n+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית, אז גם $5^{n+1}+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית. רונית אומרת: הטענה שלמעלה מספיקה כדי…
חישוב ערכי פונקציית הצטברות מגרף שבור (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $0\le x\le8$ , ונתונה הפונקציה $h(t)=\int_0^t f(x)\,dx$ בתחום זה.
פונקציות הצטברות עם גבולות תחתונים שונים (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $0\le x\le8$ . הגרף מורכב מקטעים ישרים, ונקודות השבירה שלו הן $(0,0)$ , $(2,2)$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: אינטגרל של פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, זוויות בכוכב · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
$\int_0^2 f(x)dx=0.5\int_{-2}^{2}f(x)dx$
חקירת $\frac{c o s x}{s i n x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$ . ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
שאלות קצרות: התחלקות באינדוקציה, גרף הנגזרת ונקודות פיתול, פונקציית הצטברות, משיקים למעגל · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי, הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי הביטוי $4^n-1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac A2+\frac A{2^2}+\ldots+\frac A{2^n}=A\left(1-\frac1{2^n}\right)$
חקירת $x + x^{2} - 9$ , השיקוף $- f (- x)$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\sqrt{x^2-9}$ .
שאלות קצרות: סכום באינדוקציה, משיק ומיתר, אסימפטוטות של פונקציית שורש, פונקציית הצטברות של פונקציה אי-זוגית · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 1
חשבו את הערך של הביטוי: $7\cdot12+10\cdot17+\ldots+58\cdot97$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac23+\frac69+\frac{10}{27}+\ldots+\frac{4n-2}{3^n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$
פונקציית שורש במונה: חקירה עם פרמטר, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{5x^2-kx}}{x^3}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים: