מבחן לדוגמה: הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות - כיתה י"א 5 יח"ל

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD ($BC\parallel AD$) וטרפז BCDE ($CD\parallel BE$). הנקודה M היא נקודת החיתוך של הצלעות AD ו-BE. נתון: $EM=BM$, $ED\perp AD$, $AB\perp BM$. נסמן: $\angle EMD=\alpha$.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^2(x-2)$ ו-$g(x)=x^3(x-2)$. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד של כל פונקציה.

בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$, ומצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-$x$. פונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$, ומקיימת $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$.

מצאו את האסימפטוטה האנכית של $f(x)$, הראו ש-$f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הצירים.

הראו כי $f'(x)=1+\frac4{x^2}$, והסיקו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)|-3$, המוגדרת עבור $x\neq0$.

נתונה הפונקציה $s(x)=\int_1^xg(t)\,dt$, המוגדרת בתחום $x>1$.

היעזרו בסעיף ד ומצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של $s(x)$ ואת סוגה.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $F(a)$.

מצאו את שיעורי ה-$a$ של נקודות הקיצון הפנימיות של $F$ וקבעו את סוגן.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגן.

מצאו את כל הערכים של $m$ שבעבורם למשוואה $f(x)=m$ יש בדיוק שלושה פתרונות.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$, וקבעו את סוגן.

נסמן ב-$S$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי ציר ה-$y$. נתון: $g(3)=S$, $g(6)=-2S$.

הביעו באמצעות $S$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$, בתחום $0\le x\le6$.

כמה פתרונות יש למשוואה $g(x)=0$ בתחום $0<x\le6$? נמקו.

הוכיחו כי לכל $n$ הפונקציה $f_n(x)$ אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f_n(x)$. הבחינו בין ערכים שונים של $n$ לפי הצורך.

בסעיף ג, $n=2$.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f_2(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-c$, $x=c$ ($0<c<1$) שווה ל-3. מצאו את $c$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2-1$ היא $2x$.)

נתונה פונקציה $H(x)$ המקיימת $H'(x)=f_n(x)$, ומוגדרת באותו תחום כמו $f_n(x)$. קבעו, לכל $n$ טבעי, אם יש ל-$H(x)$ נקודת קיצון שבה $x=0$, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-$H(x)$ נקודות קיצון נוספות?