שאלות פתוחות: הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מסיקים מסימני f(t) היכן פונקציית ההצטברות עולה, יורדת ויש לה קיצון, מוצאים נקודות פיתול של F מתוך הגרף של f, וחוקרים את האינטגרל של t³-3t² כפונקציה של x. יש גם סדרת שאלות קצרות. רוב השאלות בינוניות. אפשר לבנות מכאן מבחן או דף עבודה שמחבר בין נגזרות לאינטגרלים, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

55 שאלותקלה: 16בינונית: 34קשה: 5

שאלה 1 · הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברותשאלה קצרה · קלה

נתונה פונקציה רציפה וגזירה f(t)f(t)f(t), ומגדירים F(x)=∫1xf(t) dtF(x)=\int_1^x f(t)\,dtF(x)=∫1x​f(t)dt. לגרף הפונקציה F(x)F(x)F(x) יש נקודת פיתול שבה x=3x=3x=3, ומשוואת המשיק לגרף F(x)F(x)F(x) בנקודה זו היא y=4x−5y=4x-5y=4x−5.

מצאו את f(3)f(3)f(3), את f′(3)f'(3)f′(3) ואת ∫13f(t) dt\int_1^3 f(t)\,dt∫13​f(t)dt. נמקו כל תשובה.

שאלה 2 · הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברותשאלה קצרה · בינונית

נתונה פונקציית ההצטברות F(x)=∫0x(t3−3t2)dtF(x)=\int_0^x \left(t^3-3t^2\right)dtF(x)=∫0x​(t3−3t2)dt.

א.

מצאו את נקודות הפיתול של FFF.

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של FFF וקבעו את סוגן.

שאלה 3 · משפחת הפונקציות $\frac{x}{( x ^{2} - 1 ) ^{n}}$ : זוגיות של $n$ , שטח הפוך וקיצון של קדומהשאלה מלאה · קשה

לכל מספר טבעי nnn מגדירים את הפונקציה: fn(x)=x(x2−1)nf_n(x)=\frac{x}{(x^2-1)^n}fn​(x)=(x2−1)nx​.

א.

הוכיחו כי לכל nnn הפונקציה fn(x)f_n(x)fn​(x) אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של fn(x)f_n(x)fn​(x). הבחינו בין ערכים שונים של nnn לפי הצורך.

ג.

בסעיף ג, n=2n=2n=2.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f2(x)f_2(x)f2​(x), ציר ה-xxx והישרים x=−cx=-cx=−c, x=cx=cx=c (0<c<10<c<10<c<1) שווה ל-3. מצאו את ccc. (הדרכה: הנגזרת של x2−1x^2-1x2−1 היא 2x2x2x.)

ד.

נתונה פונקציה H(x)H(x)H(x) המקיימת H′(x)=fn(x)H'(x)=f_n(x)H′(x)=fn​(x), ומוגדרת באותו תחום כמו fn(x)f_n(x)fn​(x). קבעו, לכל nnn טבעי, אם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודת קיצון שבה x=0x=0x=0, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודות קיצון נוספות?

שאלה 4 · שאלות קצרות מודרכות: זוויות במעגל, אינדוקציה, תחום של שורשים ופונקציית הצטברותשאלה מלאה · קלה

לפניכם ארבע שאלות קצרות. ענו על כולן.

א.

הסרטוט לסעיף א:
ACBDP

במעגל שבסרטוט המיתרים ABABAB ו-CDCDCD נחתכים בנקודה PPP. נתון: הקשת ACACAC (שאינה מכילה את BBB ואת DDD) היא 80∘80^\circ80∘, והקשת BDBDBD (שאינה מכילה את AAA ואת CCC) היא 120∘120^\circ120∘. מעבירים את המיתר BCBCBC. חשבו את ∢ABC\sphericalangle ABC∢ABC, את ∢BCD\sphericalangle BCD∢BCD ואת ∢BPD\sphericalangle BPD∢BPD.

ב.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי: 11⋅2+12⋅3+13⋅4+...+1n(n+1)=nn+1\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}1⋅21​+2⋅31​+3⋅41​+...+n(n+1)1​=n+1n​.

ג.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)=x−2⋅x+4f(x)=\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x+4}f(x)=x−2​⋅x+4​ ואת תחום ההגדרה של הפונקציה h(x)=(x−2)(x+4)h(x)=\sqrt{(x-2)(x+4)}h(x)=(x−2)(x+4)​.

(2)

האם הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-h(x)h(x)h(x) מסעיף ג(1) זהות? נמקו.

ד.

נתון גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בתחום −3≤x≤5-3\le x\le5−3≤x≤5, ונתונה הפונקציה h(a)=∫−1af(x) dxh(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dxh(a)=∫−1a​f(x)dx עבור a>−1a>-1a>−1.
-224-22

(1)

היעזרו בכך ש-h′(a)=f(a)h'(a)=f(a)h′(a)=f(a), וקבעו באיזה תחום h(a)h(a)h(a) עולה ובאיזה תחום היא יורדת.

(2)

היעזרו בכך ש-h′′(a)=f′(a)h''(a)=f'(a)h′′(a)=f′(a), ומצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של h(a)h(a)h(a).

שאלה 5 · הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברותשאלה קצרה · בינונית

הפונקציה f(t)f(t)f(t) רציפה וגזירה לכל ttt. ידוע: f(t)>0f(t)>0f(t)>0 עבור t<1t<1t<1, f(t)<0f(t)<0f(t)<0 עבור 1<t<41<t<41<t<4 ו-f(t)>0f(t)>0f(t)>0 עבור t>4t>4t>4. כמו כן fff יורדת עבור t<2.5t<2.5t<2.5 ועולה עבור t>2.5t>2.5t>2.5. בסרטוט שלפניכם סקיצה של גרף fff. מגדירים F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dtF(x)=∫0x​f(t)dt.
y=f(x)
-1123456-3-2-112345

א.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של F(x)F(x)F(x) וקבעו את סוגן. נמקו.

ב.

מצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הפיתול של F(x)F(x)F(x), וקבעו באיזה תחום גרף FFF קעור כלפי מעלה. נמקו.

שאלה 6 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 ללא שארית.

(2)

מצאו את כל המספרים השלמים ppp שבעבורם הביטוי 5n+1+p5^{n+1}+p5n+1+p מתחלק ב-20 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+kx)3f(x)=\left(x+\frac kx\right)^3f(x)=(x+xk​)3, כאשר k≠0k\ne0k=0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו לאילו ערכי kkk יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון. נמקו.

נתון: f′′(x)=6(x2+k)(x4−kx2+2k2)x5f''(x)=\frac{6(x^2+k)(x^4-kx^2+2k^2)}{x^5}f′′(x)=x56(x2+k)(x4−kx2+2k2)​.

(2)

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

מצאו את כל הערכים של ttt בתחום 0<t≤80<t\le80<t≤8 שבעבורם h(t)=0h(t)=0h(t)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של h(t)h(t)h(t) בתחום 0≤t≤80\le t\le80≤t≤8.

ד.

המעגל החסום במשולש DEF משיק לצלעות EF, DF ו-DE בנקודות A, B ו-C בהתאמה (ראו סרטוט). נסמן: ∠EDF=δ\angle EDF=\delta∠EDF=δ, ∠DEF=ε\angle DEF=\varepsilon∠DEF=ε.
ABCDEF

(1)

הביעו באמצעות δ\deltaδ ו-ε\varepsilonε את זוויות המשולש ABC.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC חד-זווית, יהיה המשולש DEF אשר יהיה.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית אי-זוגית, הגרף של $∣ f (x) ∣ - 3$ ופונקציית הצטברותשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4xf(x)=\frac{x^2-4}{x}f(x)=xx2−4​, המוגדרת עבור x≠0x\neq0x=0.

א.

מצאו את האסימפטוטה האנכית של f(x)f(x)f(x), הראו ש-f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=1+4x2f'(x)=1+\frac4{x^2}f′(x)=1+x24​, והסיקו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ג.

סרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣−3g(x)=|f(x)|-3g(x)=∣f(x)∣−3, המוגדרת עבור x≠0x\neq0x=0.

(1)

מצאו את נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן.

(2)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx.

ה.

נתונה הפונקציה s(x)=∫1xg(t) dts(x)=\int_1^xg(t)\,dts(x)=∫1x​g(t)dt, המוגדרת בתחום x>1x>1x>1.

היעזרו בסעיף ד ומצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון של s(x)s(x)s(x) ואת סוגה.

שאלה 8 · הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה F(x)=∫0x(t−a)(t−6) dtF(x)=\int_0^x (t-a)(t-6)\,dtF(x)=∫0x​(t−a)(t−6)dt, כאשר a<6a<6a<6 פרמטר. ידוע כי לגרף הפונקציה F(x)F(x)F(x) יש נקודת פיתול שבה x=4x=4x=4.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה F(x)F(x)F(x) וקבעו את סוגן.

שאלה 9 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של $∣ f (x) ∣ = b$ ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=a−x2x3f(x)=\frac{a-x^2}{x^3}f(x)=x3a−x2​, המוגדרת עבור x≠0x\neq0x=0. aaa הוא פרמטר חיובי. נתונה גם הפונקציה g(x)=∣f(x)∣−bg(x)=|f(x)|-bg(x)=∣f(x)∣−b, bbb הוא פרמטר חיובי, המוגדרת באותו התחום.

א.

מצאו באמצעות aaa את האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים, את נקודות החיתוך שלה עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו באמצעות aaa את כל ערכי bbb שעבורם למשוואה g(x)=0g(x)=0g(x)=0 יש בדיוק 6 פתרונות.

ג.

ידוע כי הנקודה (3,19)\left(3,\frac19\right)(3,91​) היא נקודת קיצון של g(x)g(x)g(x).

מצאו את aaa ואת bbb.

ד.

עבור הערכים שמצאתם בסעיף ג, נתונה הפונקציה s(x)=∫3xg(t) dts(x)=\int_{\sqrt3}^{x}g(t)\,dts(x)=∫3​x​g(t)dt, המוגדרת בתחום x>3x>\sqrt3x>3​.

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה s(x)s(x)s(x), ומה סוגן? נמקו.

שאלה 10 · שאלות קצרות מודרכות: סכום באינדוקציה, משיק ורדיוס, אסימפטוטות שורש, פונקציית הצטברותשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅3+2⋅5+3⋅7+…+n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)61\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\ldots+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}1⋅3+2⋅5+3⋅7+…+n(2n+1)=6n(n+1)(4n+5)​. נסמן ב-SnS_nSn​ את הסכום של nnn האיברים הראשונים.

(1)

האיבר 4⋅94\cdot94⋅9 הוא האיבר הרביעי בסכום, והאיבר 10⋅2110\cdot2110⋅21 הוא האיבר העשירי. היעזרו ב-S10S_{10}S10​ וב-S3S_3S3​, וחשבו את הערך של הביטוי: 4⋅9+5⋅11+…+10⋅214\cdot9+5\cdot11+\ldots+10\cdot214⋅9+5⋅11+…+10⋅21.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅3+2⋅5+…+n(2n+1)+(n+1)(2n+3)=(n+1)(n+2)(4n+C)61\cdot3+2\cdot5+\ldots+n(2n+1)+(n+1)(2n+3)=\frac{(n+1)(n+2)(4n+C)}{6}1⋅3+2⋅5+…+n(2n+1)+(n+1)(2n+3)=6(n+1)(n+2)(4n+C)​.

(2)

הסבירו מדוע אגף שמאל שווה ל-Sn+1S_{n+1}Sn+1​, הציבו n+1n+1n+1 בנוסחה של SnS_nSn​ ומצאו את CCC.

ב.

הנקודה AAA נמצאת על מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 9. המשיק למעגל בנקודה AAA יוצר זווית של 35∘35^\circ35∘ עם המיתר ABABAB (ראו סרטוט).
35°OABE

(1)

חשבו את הזוויות OABOABOAB ו-AOBAOBAOB. (היעזרו בכך שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.)

(2)

חשבו את אורך הקשת הקטנה ABABAB, ואת היחס בין אורך הקשת הזאת להיקף המעגל.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=9x2+42xf(x)=\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x}f(x)=2x9x2+4​​, המוגדרת לכל x≠0x\neq0x=0.

(1)

הראו כי עבור x>0x>0x>0 מתקיים f(x)=129+4x2f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{9+\frac{4}{x^2}}f(x)=21​9+x24​​, ועבור x<0x<0x<0 מתקיים f(x)=−129+4x2f(x)=-\frac{1}{2}\sqrt{9+\frac{4}{x^2}}f(x)=−21​9+x24​​.

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

נתונה הפונקציה g(x)=2f(x−1)g(x)=2f(x-1)g(x)=2f(x−1).

(3)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים, ואת המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של g(x)g(x)g(x).

ד.

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4xf(x)=x3−4x (ראו גרף), ונתונה הפונקציה g(t)=∫−2tf(x) dxg(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dxg(t)=∫−2t​f(x)dx המוגדרת בתחום −2≤t≤2-2\le t\le2−2≤t≤2.
f(x)
-3-2-1123-4-3-2-11234

(1)

הראו כי g(t)=(t2−4)24g(t)=\frac{(t^2-4)^2}{4}g(t)=4(t2−4)2​.

(2)

מצאו את תחום הירידה של g(t)g(t)g(t). האם יש ערכים של ttt שעבורם g(t)g(t)g(t) שלילית? נמקו.

(3)

מצאו את נקודות הפיתול של g(t)g(t)g(t).

עוד 25 שאלות על הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה $f(t)$ בקטע $[0,7]$ , המורכב מקטעים ישרים העוברים בנקודות $(0,0)$ , $(1,4)$ , $(2,0)$ , $(3.5,-4)$ , $(5,0)$ ,…
ירידה ונקודות פיתול של פונקציית הצטברות מגרף פונקציה אי-זוגית (שאלה קצרה · קשה)
$f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל $x$ . הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$ . ל- $f(x)$ יש נקודות קיצון ב- $x=-2$ וב- $x=2$ , ובנקודות…
שאלות קצרות (מודרך): אינדוקציה, טרפז וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - 2)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי $\frac45+\frac4{25}+\frac4{125}+\ldots+\frac4{5^n}=1-\frac1{5^n}$ . בדקו את נכונות הטענה בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ .
הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם גרף הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ : ישר העובר בנקודות $(0,-2)$ ו- $(1,0)$ . נתון כי $f(0)=-3$ . מגדירים…
קיצון של פונקציית הצטברות מגרף, שטח כולל ומספר האפסים של פונקציית ההצטברות (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . בסרטוט מצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה- $x$ . פונקציה…
שאלת חובה מודרכת: אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, הצטברות וסדרה חשבונית (שאלה מלאה · קלה)
הוכיחו את הטענה.
שאלות קצרות: זווית בין חותכים, אינדוקציה, זהות פונקציות שורש ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
שני ישרים יוצאים מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל. הישר הראשון חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , והישר השני חותך אותו בנקודות $C$ ו- $D$ ( $A$ בין $P$ …
סימן פונקציית ההצטברות ותחומי העלייה שלה מגרף הפרבולה (שאלה קצרה · קלה)
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)=4-x^2$ בתחום $-2.2\le x\le3$ . נגדיר: $F(a)=\int_{-2}^{a}f(x)\,dx$ , $a>-2$ .
הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות (שאלה קצרה · בינונית)
נתון גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $0.5\le x\le7.5$ . נתונה הפונקציה $h(a)=\int_{1}^{a}f(x)\,dx$ עבור $0.5\le a\le7.5$ .
שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות עם $x^{4}$ : חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^3}$ , $f(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}$ .
הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x-1}{(x+2)^2}$ , ונתונה פונקציה $h(x)$ המקיימת $h'(x)=f(x)$ . $f(x)$ ו- $h(x)$ מוגדרות באותו תחום.
פונקציית שורש עם פרמטר: היעדר אסימפטוטות, חקירה, $- f (x + 1)$ ו- $∣ f (x) ∣$ ואינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(x-3)(x+2)^2}{\sqrt{x+a}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית אי-זוגית עם פרמטר, הגרף של $∣ f (x) ∣ - b$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4-a^2}{x^3}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=4-\frac{x^2+4}{x}$ בתחום $x>0$ , ונתונה הפונקציה $s(x)=\int_1^xg(t)\,dt$ , המוגדרת בתחום $x>0$ .
שאלות קצרות: קטע מסכום באינדוקציה, משיק ורדיוס, אסימפטוטות של פונקציית שורש, הצטברות של פונקציה אי-זוגית (שאלה מלאה · בינונית)
חשבו את הערך של הביטוי: $7\cdot23+9\cdot29+\ldots+29\cdot89$ .
הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות (שאלה קצרה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית. הגרף שלפניכם מתאר את $f(x)$ בתחום $-3\le x\le3$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ רק בנקודות שבהן $x=-3$ , $x=0$ , $x=3$ .…
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים אי-זוגיים, מיתרים נחתכים ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$
הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . גרף הנגזרת הוא פרבולה החותכת את ציר ה- $x$ בנקודות $x=-1$ …
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)^{2}$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$
הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ , ומצוינים כל שיעורי נקודות החיתוך שלו עם ציר ה- $x$ . הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל…
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ישר זווית וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - a) (x + b)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם טענה: אם ל- $n$ טבעי מסוים $5^n+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית, אז גם $5^{n+1}+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית. רונית אומרת: הטענה שלמעלה מספיקה כדי…
הקשר בין גרף הפונקציה, גרף הנגזרת וגרף פונקציית ההצטברות (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $0\le x\le4.2$ ; הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $x=1$ וב- $x=3$ . נגדיר $F(a)=\int_0^af(x)\,dx$ , $0<a\le4.2$ .
עלייה ומינימום של פונקציית הצטברות כשגרף הפונקציה נוגע בציר (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת בתחום $0.8\le x\le5.6$ . הגרף פוגש את ציר ה- $x$ בנקודות שבהן $x=1$ , $x=3$ ו- $x=5$ . נגדיר:…
קיצון וקעירות של פונקציה קדומה מגרף פונקציה זוגית (שאלת ביניים · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניכם הגרף של $f(x)$ בתחום $-6<x<0$ . (בגרף מסומנים: $f(-6)=-3$ , נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-4$ ,…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: זווית בין מיתרים, אינדוקציה, זהות פונקציות שורש ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 1
הראו כי במעגל, הזווית הנוצרת על ידי שני מיתרים שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן. כלומר יש להראות:…
שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות: חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 6
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{x}{(x^2-2)^3}$ , $f(x)=\frac{x}{(x^2-2)^2}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: היעדר אסימפטוטות, חקירה, $- f (x + 2)$ ו- $∣ f (x) ∣$ ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{\sqrt{x+a}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית אי-זוגית עם פרמטר, הגרף של $∣ f (x) ∣ - b$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2a-x^2}{x}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: סכום באינדוקציה, משיק ומיתר, אסימפטוטות של פונקציית שורש, פונקציית הצטברות של פונקציה אי-זוגית · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 1
חשבו את הערך של הביטוי: $7\cdot12+10\cdot17+\ldots+58\cdot97$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים זוגיים, מרובע חסום ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $48+144+288+\dots+6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac23+\frac69+\frac{10}{27}+\ldots+\frac{4n-2}{3^n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים:

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (12)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זוגיות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המוגדרת גם היא לכל $x$ .…
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זוגיות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המוגדרת גם היא לכל $x$ .…
מגרף הנגזרת: ערכים מהשטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , שחותך את ציר ה- $x$ …
פונקציה רציונלית: שטח מתחת לגרף הנגזרת עם גבול משתנה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+1$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=1$ הוא $-6$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח הפוך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{-x^2+ax-8}$ , $a$ הוא פרמטר. ידוע שהישר $x=1$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: קיצון, שטח וחיתוך עם ישר אופקי (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת…
מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: צורת M, שטח וחיתוך עם ישר אופקי (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת…
מגרף הנגזרת לפונקציה: שני שטחים, מינימומים שונים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ , ולפונקציה $f(x)$ אין אסימפטוטה אופקית. בסרטוט…
מגרף הנגזרת ושטחים לערכי הפונקציה (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , שמתאפסת רק…
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm4$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו…
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו…
גרף הנגזרת: פרמטרים, מספר פתרונות ושטח נתון (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)=\frac{ax^2}{x^2-9}+2$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ ( $a$ פרמטר). בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית…