מבחן לדוגמה: שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן - כיתה י"א 5 יח"ל

נתון השוויון $4+16+36+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, שבו $n$ הוא מספר טבעי זוגי.

במועדון קוראים בדקו אילו ספרים שאלו החברים: חלק מהחברים שאלו רומן, חלק שאלו ספר קומיקס, חלק שאלו את שניהם, וחלק לא שאלו אף אחד מהם. 12% מן החברים שאלו רק רומן. מספר החברים ששאלו רק רומן קטן פי 3 ממספר החברים ששאלו גם רומן וגם ספר קומיקס. $\frac45$ מן החברים ששאלו ספר קומיקס, שאלו גם רומן. בוחרים באקראי חבר מועדון.

נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$, $g(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x}$, $h(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x}}$.

נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{8x}{x^2+4}$ ו-$g(x)=f^2(x)\cdot f'(x)$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לציר ה-$x$.

האם $f(x)$ זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? הוכיחו.

הראו כי $f'(x)=-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}$, ומצאו את נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום הנתון וקבעו את סוגן.

נתון: $f''(x)=\frac{2(\cos x+2)}{(1-\cos x)^2}$.

הראו שלפונקציה אין נקודות פיתול, וסרטטו סקיצה של גרף $f(x)$ בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף $f'(x)$ ובין ציר ה-$x$ בתחום $\frac{\pi}{2}\le x\le\pi$.

חשבו את $\int_{-1}^{2}f'(x)\,dx$.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $f'(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-1$ ו-$x=4$.

הראו כי $f''(x)<0$ לכל $x>-\frac12$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $f''(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=0$ ו-$x=4$.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-1$, $x=1$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2-4$ היא $2x$.)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $g(x)$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$ בתחום $1\le x\le\sqrt a$.