שאלות פתוחות: שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים שטחים מעל ומתחת לציר ה-x בפונקציות כמו x³-4x ו-x²-4x, מוצאים b כשהשטח הכולל עד הישר x=b נתון, מבחינים בין אינטגרל לשטח, ופותרים גם שאלה טריגונומטרית עם פרמטר. זהו אחד הנושאים הגדולים במאגר, עם שאלות קלות ובינוניות רבות ומעט קשות. אפשר לבחור מכאן למבחן, לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

120 שאלותקלה: 45בינונית: 66קשה: 9

שאלה 1 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4xf(x)=x3−4x. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה, והשטחים המוגבלים על ידי הגרף ועל ידי ציר ה-xxx מסומנים.
y=f(x)

חשבו את השטח הכולל המסומן.

שאלה 2 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4xf(x)=x2−4x והישר x=bx=bx=b, כאשר b>4b>4b>4. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי ציר ה-xxx בתחום שבו הפונקציה שלילית שווה לשטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישר x=bx=bx=b בתחום שבו הפונקציה חיובית.

מצאו את bbb.

שאלה 3 · מגרף הנגזרת השנייה אל $f^{'}$ ו- $f$ : התאמת נוסחה והשוואת שטחים לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

לפניכם גרף הפונקציה f′′(x)f''(x)f′′(x). נתון כי f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0 רק בנקודות x=−bx=-bx=−b, x=0x=0x=0, x=bx=bx=b (b>0b>0b>0), וכי f′(−b)=f′(b)=0f'(-b)=f'(b)=0f′(−b)=f′(b)=0.
f′′(x)
-bb

א.

הוכיחו כי f′(x)≥0f'(x)\ge0f′(x)≥0 לכל xxx. מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x), וקבעו אם יש ל-f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון.

ב.

נתון כי אחת מהפונקציות f′′(x)f''(x)f′′(x), f′(x)f'(x)f′(x), f(x)f(x)f(x) היא: g(x)=(x2−a)2g(x)=(x^2-a)^2g(x)=(x2−a)2, aaa הוא פרמטר.

התאימו את הפונקציה g(x)g(x)g(x) לאחת מן הפונקציות הנ"ל ונמקו. הביעו את bbb באמצעות aaa.

ג.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם השטח הכלוא בין גרף f′(x)f'(x)f′(x) לבין ציר ה-xxx גדול מסכום השטחים הכלואים בין גרף f′′(x)f''(x)f′′(x) לבין ציר ה-xxx.

שאלה 4 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−1f(x)=x^2-1f(x)=x2−1.

א.

חשבו את ∫03f(x) dx\int_0^3 f(x)\,dx∫03​f(x)dx.

ב.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=3x=3x=3. הסבירו מדוע התוצאה שונה מזו של סעיף א'.

שאלה 5 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x(x−a)f(x)=x(x-a)f(x)=x(x−a), כאשר a>0a>0a>0 פרמטר. השטח הכולל המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=2ax=2ax=2a שווה ל-888.

מצאו את aaa.

שאלה 6 · משפחת הפונקציות $\frac{c o s x}{s i n x + k}$ : קיצון לפי פרמטר, בעיה הפוכה ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)+kf(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)+k}}f(x)=sin(x)+k​cos(x)​, כאשר k>1k>1k>1 הוא פרמטר. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

הסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) מוגדרת בכל התחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, ומצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

ב.

הוכיחו כי לכל k>1k>1k>1 יש ל-f(x)f(x)f(x) בדיוק שתי נקודות קיצון בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π, ושתיהן בתחום π<x<2π\pi<x<2\piπ<x<2π.

ג.

נתון כי x=7π6x=\frac{7\pi}{6}x=67π​ היא נקודת קיצון של f(x)f(x)f(x).

מצאו את kkk, ומצאו את שיעורי שתי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π וקבעו את סוגן.

ד.

עבור kkk שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=2πx=2\pix=2π.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית אי-זוגית: חקירה מודרכת, התנהגות ליד אסימפטוטה ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2x(x2−4)2f(x)=\frac{2x}{(x^2-4)^2}f(x)=(x2−4)22x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=−2(3x2+4)(x2−4)3f'(x)=\frac{-2(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}f′(x)=(x2−4)3−2(3x2+4)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

קבעו לאן שואפת f(x)f(x)f(x) כאשר x→2−x\to2^-x→2−, כאשר x→2+x\to2^+x→2+, כאשר x→−2−x\to-2^-x→−2− וכאשר x→−2+x\to-2^+x→−2+, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=−1x=-1x=−1, x=1x=1x=1. (הדרכה: הנגזרת של x2−4x^2-4x2−4 היא 2x2x2x.)

שאלה 8 · שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x−3x+2f(x)=x-3\sqrt{x}+2f(x)=x−3x​+2.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xxx, וקבעו באילו תחומים הפונקציה חיובית ובאילו שלילית.

ב.

חשבו את השטח הכולל המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx, ציר ה-yyy והישר x=9x=9x=9.

שאלה 9 · מגרף הנגזרת למספר הפתרונות, וסימן הפרמטר מתוך שטח של $f^{'} \cdot f$ שאלה מלאה · קשה

נתונה פונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום: x<bx<bx<b, b<x<cb<x<cb<x<c, c<xc<xc<x וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). לפונקציית הנגזרת יש נקודת קיצון אחת בלבד, ב-x=ax=ax=a, ושלוש אסימפטוטות המאונכות לצירים: y=0y=0y=0, x=bx=bx=b, x=cx=cx=c.
עוד נתון: גרף f(x)f(x)f(x) עובר בנקודה (a,0)(a,0)(a,0), הישרים x=bx=bx=b ו-x=cx=cx=c הם אסימפטוטות של f(x)f(x)f(x), וכאשר x→∞x\to\inftyx→∞ או x→−∞x\to-\inftyx→−∞ מתקיים f(x)→0f(x)\to0f(x)→0.
f′(x)
bac

א.

מצאו, לפי ערכי kkk, את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k.

ב.

נתון כי f(x)=p(1−x)(x2−2x−8)2f(x)=\frac{p(1-x)}{(x^2-2x-8)^2}f(x)=(x2−2x−8)2p(1−x)​, כאשר p≠0p\neq0p=0 הוא פרמטר.

מצאו את aaa, bbb ו-ccc, וקבעו את הסימן של ppp.

ג.

הביעו באמצעות ppp את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f′(x)⋅f(x)f'(x)\cdot f(x)f′(x)⋅f(x), ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=2x=2x=2.

ד.

נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ג שווה ל-116\frac1{16}161​. מצאו את ppp.

שאלה 10 · שאלות קצרות בדרך לבגרות: פונקציה אי-זוגית, אי-תלות, אסימפטוטות וזוויות בכוכבשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם הגרף של פונקציה אי-זוגית f(x)f(x)f(x) בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2. נתון: ∫02f(x)dx=−4\int_0^2 f(x)dx=-4∫02​f(x)dx=−4.
f(x)
-3-2-1123-4-3-2-11234

(1)

חשבו את ∫−20f(x)dx\int_{-2}^{0}f(x)dx∫−20​f(x)dx.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2.

ב.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:
AAAAˉ\bar AAˉסה"כ
BBB0.20.20.20.50.50.5
Bˉ\bar BBˉ
סה"כ0.40.40.4111

	$A$	סה"כ
$B$	$0.2$	$0.5$
$\bar B$
סה"כ	$0.4$	$1$

(1)

האם המאורעות AAA ו-BBB תלויים זה בזה? נמקו.

(2)

השלימו את הטבלה, ומצאו את P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar A\cap\bar B)P(Aˉ∩Bˉ).

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=6x2−5x+12x2−2x−4f(x)=\frac{6x^2-5x+1}{2x^2-2x-4}f(x)=2x2−2x−46x2−5x+1​.

(1)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים, וחשבו את שטח המלבן שהן יוצרות עם ציר ה-xxx.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x−2)g(x)=f(x-2)g(x)=f(x−2). מצאו את האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים, ואת שטח המלבן שהן יוצרות עם ציר ה-xxx.

ד.

במעגל שמרכזו OOO חסום כוכב שקודקודיו AAA, BBB, CCC, DDD, EEE מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה (ראו סרטוט). הקשתות שבין קודקודים שכנים הן: הקשת ABABAB - 60∘60^\circ60∘, הקשת BCBCBC - 80∘80^\circ80∘, הקשת CDCDCD - 70∘70^\circ70∘, הקשת DEDEDE - 90∘90^\circ90∘, הקשת EAEAEA - 60∘60^\circ60∘.
OABCDE

(1)

חשבו את הזווית ∢CAD\sphericalangle CAD∢CAD שבקודקוד AAA.

(2)

חשבו את סכום חמש הזוויות שבקודקודי הכוכב.

עוד 45 שאלות על שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4x+3$ . עבור $b>0$ מסמנים ב- $S(b)$ את השטח הכולל המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x=b$ ,…
משפחה רציונלית: סוג הקיצון לפי סימן הפרמטר, מספר פתרונות ושטח בשני צדי האפס (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax-1}{x^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq0$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
הפונקציה $x - \frac{4}{x}$ : מונוטוניות, אפסים של $f \cdot f^{'}$ ושטח בעזרת $\frac{1}{2} f^{2}$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x-\frac4x$ .
שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות עם $x^{4}$ : חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^3}$ , $f(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}$ .
פונקציה טריגונומטרית עם ריבוע: מציאת פרמטר עם פסילה, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin x\,(b+\cos x)^2$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
שאלות קצרות מודרכות: יחס רדיוסים, ביטויי ברנולי, קיצון של $f^{'}$ ושטח מתחת ל- $f^{''}$ , סדרת זוויות (שאלה מלאה · קלה)
הסבירו מדוע $\sin\angle ADB=\sin\angle ADC$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{(x^2+1)^2}$ .
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: מספר הפתרונות של $f (x) = m$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-x^2}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{2}{1 - c o s x}$ : אסימפטוטות, זוגיות, קיצון, קעירות ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{1-\cos(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
שאלות קצרות: פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, כוכב בעל 7 קודקודים (שאלה מלאה · בינונית)
$\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx$
משפחה $\frac{s i n x}{c o s x - a}$ : מתי יש אסימפטוטות, מתי הפונקציה עולה, וקיצון בקצוות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x-a}}$ , כאשר $a<1$ פרמטר. ענו על כל הסעיפים עבור התחום $-\pi\le x\le\pi$ .
חקירת $cos x - 2 cos x$ בתחום סגור ושטח בעזרת זוגיות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos x-\sqrt{2\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ .
מגרף נגזרת אי-זוגית לגרפים של $f^{''}$ ושל $f$ , התאמת נוסחה ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם גרף הפונקציה $f'(x)$ (נתון כי $f'(-b)=0$ , $f'(0)=0$ וכן $f'(b)=0$ ):
שטח של פונקציה אי-זוגית המחליפה סימן (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x}{(x^2-4)^2}$ .
שאלות קצרות בשלבים: אינדוקציה, מרובע חסום ושני חותכים, אסימפטוטות של פונקציית שורש, הפונקציה והנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
הוכיחו באינדוקציה שלכל $n$ טבעי מתקיים: $2+6+12+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}3$
חקירת $\frac{s i n x}{1 - 2 c o s x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-2\cos(x)}}$ . ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
סימן ושטח של $\frac{- f ^{'} ( x )}{( f ( x ) ) ^{2}}$ (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון: $a=4$ , ופונקציית הנגזרת היא $f'(x)=\frac{12(a-x^2)}{(x^2+a)^2}$ .…
שאלות קצרות (מודרך): אינדוקציה, טרפז וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - 2)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי $\frac45+\frac4{25}+\frac4{125}+\ldots+\frac4{5^n}=1-\frac1{5^n}$ . בדקו את נכונות הטענה בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ .
חקירת $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}$ .
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של שורש, $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · קלה)
בדקו כי השוויון מתקיים בעבור $n=2$ ובעבור $n=4$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4}{(2x^5-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית בלי פרמטר: קיצון, סקיצה ושטח של $g \cdot g^{'}$ בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq2$ .
מגרף נגזרת שלילית לפונקציה: מונוטוניות, קעירות, סקיצה ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
חקירת $\frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 1}$ והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4(x+1)^2}{x^2+1}$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt{2x+1}$ .
מגרף פונקציה זוגית לקיצון וקעירות של g כש-g'=-f (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=-1$ , נקודת המינימום $(2,-4)$ , ו- $f(4)=0$ ; לכל $x>2$ הפונקציה עולה.)
שאלות קצרות: יחס רדיוסים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות מרכזיות (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $EDC$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $BDE$ . נמקו את תשובתכם.
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם שני גרפים, I ו-II. אחד מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של הנגזרת השנייה $f''(x)$ .…
חקירת $\frac{s i n x + s i n x c o s ^{2} x}{1 - c o s ^{2} x}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
חקירת $cos^{2} x - cos x$ : קיצון בקצוות, גרף הנגזרת ושטח בעזרת זוגיות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos^2x-\sqrt{\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{\cos x}-1$ , בתחום $-\frac\pi2\le x\le\frac\pi2$ . נסמן ב- $S$ את השטח המוגבל על ידי גרף $f(x)$ ועל ידי ציר ה- $x$ …
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos^2x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים אי-זוגיים, מיתרים נחתכים ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)^{2}$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ישר זווית וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - a) (x + b)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ אי-זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ זוגית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $a$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת וגזירה לכל $x$ . לפונקציה יש שתי נקודות קיצון בלבד: נקודת מקסימום $(1,3)$ ונקודת מינימום $(5,-2)$ (ראו סרטוט). נתונה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה $x^{4}$ : קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{a(4x+3)}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq-1$ , והפונקציה $h(x)=g(x)\cdot g'(x)$ .
חקירת $\frac{12 x}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=x^2+2x+2$ , והפונקציה $g(x)=\frac{-h^{\prime}(x)}{(h(x))^2}$ .
מגרף פונקציה זוגית: גרף ההופכית, הנגזרות של g ושטח מתחת ל-g'' (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=2$ , $f(1)=0$ , נקודת המינימום $(2,-2)$ , ו- $f(3)=0$ ; לכל $x>2$ …
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · בינונית)
לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום $(-1,5)$ ונקודת מינימום $(2,-4)$ , והיא יורדת ב- $-1<x<2$ ועולה ב- $x>2$ . נתון: $f(4)=0$ .
שטח בין גרף הנגזרת לציר לפי ערכי הקיצון (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם הגרפים I ו-II: גרף II הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , וגרף I הוא גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . לגרף של $f(x)$ יש נקודת מקסימום A…
שטח של $f (x) \cdot f^{'} (x)$ המחליפה סימן (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x-\frac4x$ . נתון כי הפונקציה $G(x)=\frac12f^2(x)$ היא פונקציה קדומה של הפונקציה $g(x)=f(x)\cdot f'(x)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות: חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 6
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{x}{(x^2-2)^3}$ , $f(x)=\frac{x}{(x^2-2)^2}$ .
שאלות קצרות: אינטגרל של פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, זוויות בכוכב · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
$\int_0^2 f(x)dx=0.5\int_{-2}^{2}f(x)dx$
חקירת $\frac{c o s x}{s i n x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$ . ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
חקירת $3 x + \frac{3}{x}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=3x+\frac3x$ .
פונקציה טריגונומטרית עם נקודות אי-רציפות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sin2x}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
מגרף הנגזרת לפונקציה: מונוטוניות, קעירות, סקיצה ושטח של $f^{'} \cdot f^{2}$ · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 6
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x<b$ , $b<x<c$ , $c<x$ וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . לפונקציית הנגזרת $f'(x)$ …
פונקציה עם שורש במכנה: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , זיהוי גרף $f^{''}$ ושטח מתחתיו · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x}{\sqrt{x^2+x}}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים, I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
שאלות קצרות: רדיוסים של מעגלים חוסמים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות אין-סופית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $HBF$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $GEA$ . נמקו את תשובתכם.
חקירת $\frac{4 s i n x}{c o s ^{2} x - 1}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4\sin(x)}{\cos^2(x)-1}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
חקירת $cos x - cos x$ : קיצון בקצוות, גרף הנגזרת ושטח בעזרת זוגיות · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos x-\sqrt{\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ .
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים זוגיים, מרובע חסום ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $48+144+288+\dots+6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac23+\frac69+\frac{10}{27}+\ldots+\frac{4n-2}{3^n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ נתונה בגרף · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 1
מצאו את הערך של $a$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax}{(x-3)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
מגרף פונקציה זוגית: גרף ההופכית, הנגזרות של g ושטח מתחת ל-g'' · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
לפניך חלק מגרף של פונקציה זוגית: $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=-1$ , נקודת המינימום $(3,-4)$ , ו- $f(5)=0$ ; לכל $x>3$ הפונקציה עולה,…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (48)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציית שורש: קיצון, מספר פתרונות וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה: $f(x)=x^2\sqrt{10-4x}$ .
פונקציית שורש: קיצון, מספר פתרונות וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה: $f(x)=(x^2+5x-10)\sqrt{5-x}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: מקסימום נתון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2\sqrt{c-2x}$ , $c$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת פונקציית שורש עם פרמטר: מקסימום, גרף הנגזרת ושטח מתחת לציר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=4\sqrt{x+a}-x$ , $a$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(12,0)$ .…
פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=6x\cdot(\sqrt x-m)$ . $m>0$ הוא פרמטר.
פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-m)\cdot\sqrt x$ . $m>0$ הוא פרמטר.
פונקציה עם שורש ופרמטר: מהשטח מתחת לנגזרת לפרמטר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=6x\cdot(\sqrt x-m)$ . $m>0$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש בתחום x≤2: גרף הנגזרת, קיצון קצה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\le2$ , ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x<2$ . לפונקציה יש נקודת קיצון…
פונקציית שורש בתחום סגור: גרף הנגזרת, קיצוני קצה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-5\le x\le5$ , ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-5<x<5$ . לפונקציה יש…
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{3x-6}$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{2x-8}$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש: קיצון בקצה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x-4\sqrt{5x-16}$ .
פונקציית שורש: קיצון בקצה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x-6\sqrt{2x-5}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: מספר אפסים ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-a\sqrt{x-4}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}+1$ , $b$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II:…
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{4x^2-1}+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{(4x-1)^2}-4$ .
חקירת פונקציה רציונלית שהמקסימום שלה על ציר ה-x (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{x^2+9}-1$ .
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-33}{x^2+3}+2$ , המוגדרת לכל $x$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף…
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x+2$ .
פולינום ממעלה שלישית: חקירה, שטח והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-12x+11$ .
שתי פרבולות: זיהוי גרפים, שטח ואינטגרל מסוים (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=(2-x)^2$ , $g(x)=(2+x)^2$ .
שתי פרבולות: זיהוי גרפים, שטח ואינטגרל מסוים (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם הגרפים של הפונקציות: $f(x)=(x-2)^2$ , $g(x)=(x+1)^2$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
לפונקציה $f(x)$ נגזרת $f'(x)$ המוגדרת לכל $x$ . ידוע כי $f'(x)<0$ בתחום $1<x<3$ ו- $f'(x)>0$ בתחום $3<x<6$ , וכי…
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=1+\frac{9}{x^2}$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-4x$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2\sqrt{x+4}-x$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+5}{x+1}$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{x^2+4}$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x}{x^2+4}+3$ . נתון כי $f'(x)>0$ בתחום $-2<x<2$ ו- $f'(x)<0$ בתחום $x>2$ .
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלה קצרה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ שלילית בתחום $0<x<2$ וחיובית בתחום $2<x<5$ . השטח המוגבל על ידי גרף $f(x)$ וציר ה- $x$ בתחום…
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(9-x)\cdot\sqrt{x+3}$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x>-3$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-4\sqrt{x-1}$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זוגיות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המוגדרת גם היא לכל $x$ .…
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זוגיות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המוגדרת גם היא לכל $x$ .…
מגרף הנגזרת: ערכים מהשטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , שחותך את ציר ה- $x$ …
מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: קיצון, שטח וחיתוך עם ישר אופקי (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת…
מגרף הנגזרת לגרף הפונקציה: צורת M, שטח וחיתוך עם ישר אופקי (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת…
מגרף הנגזרת לפונקציה: שני שטחים, מינימומים שונים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ , ולפונקציה $f(x)$ אין אסימפטוטה אופקית. בסרטוט…
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זיהוי גרף, אינטגרל מול שטח והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
מגרף הנגזרת לפונקציה: נקודה אופקית בצד ושטח שאינו מחליף סימן (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .…
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm4$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו…
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו…
שטח כשהפונקציה שלילית או מחליפה סימן (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-4x+3$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+2$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=2$ הוא $-2$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}-1$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=-2$ הוא $1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר במונה: מהשטח לפונקציה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2-4}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.