מבחן לדוגמה: פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה - כיתה י"א 5 יח"ל

הראו כי B היא סדרה חשבונית שהפרשה $d$, וכי $b_1=a_1+d$.

לפניכם טענה:

אם ל-$n$ טבעי מסוים $4^n+1$ מתחלק ב-3 ללא שארית, אז גם $4^{n+1}+1$ מתחלק ב-3 ללא שארית.

נתונה הפונקציה $f(x)=x^4-6x^2+1$. הראו ש-$f$ זוגית, מצאו את $f'(x)$ והראו ש-$f'$ אי-זוגית.

לפניכם גרף הפונקציה $f(x)=4-x^2$ בתחום $-2.2\le x\le3$.

נגדיר: $F(a)=\int_{-2}^{a}f(x)\,dx$, $a>-2$.

נתונה סדרה חשבונית ובה 9 איברים. האיבר הראשון הוא 4 וההפרש הוא 3.

מצאו את הפרש הסדרה.

מצאו את $n$ שעבורו סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה הוא 0.

הוכיחו כי $c_n$ היא סדרה חשבונית, ומצאו את ההפרש שלה.

חשבו את סכום 25 האיברים הראשונים של $c_n$.

הביעו באמצעות $a_1$, $d$ ו-$k$ את האיבר הראשון ואת ההפרש של הסדרה $B_k$.

הוכיחו שממוצע האיברים בכל סדרה $B_k$ שווה לממוצע האיברים בסדרה A.

נתון: סכום האיברים בסדרה A הוא 1200, סכום האיברים בסדרה $B_3$ הוא 1110, ו-$d=1.5$.

מצאו את $N$ ואת $a_1$.

הביעו באמצעות $n$ ו-$d$ את ההפרשים $M-P$ ו-$Q-M$. מה אפשר להסיק על $P$, $M$ ו-$Q$?

נתון: $P=120$, $M=70$, $d$ הוא מספר שלם ו-$n>1$.

מצאו את $n$, את $d$ ואת $a_1$.

בסדרה שמצאתם בסעיף ב: כמה מאיברי הסדרה חיוביים? מהו הסכום הגדול ביותר של איברים ראשונים $S_k$ ($1\le k\le3n$), ובעבור אילו ערכים של $k$ הוא מתקבל?

מתבוננים בסדרה החשבונית האינסופית שהאיבר הראשון שלה וההפרש שלה הם אלה שמצאתם בסעיף ב. לכל $n$ טבעי לוקחים את $3n$ האיברים הראשונים שלה, ומסמנים ב-$M(n)$ את הסכום של $n$ האיברים האמצעיים מביניהם.

מצאו את כל הערכים של $n$ שבעבורם $M(n)>0$, ואת הערך של $n$ שבעבורו $M(n)$ הוא הגדול ביותר.