שאלות פתוחות: פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה לכיתה י"א ברמת 5 יחידות: בניית סדרות חדשות מסדרה נתונה ובדיקת התכונות שלהן. יש שאלות שבהן מחלקים את איברי הסדרה לשלשות עוקבות ובונים סדרה של סכומים, שאלות על סכום איברים הנמצאים במרחק שווה מהקצוות כמו a_4+a_16, ושאלות שבהן משווים סכומים של שלושה חלקים בסדרה בת 3n איברים. רוב השאלות בינוניות, ויש גם קלות וקשות. מתאים למבחן מסכם בסדרה חשבונית או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

77 שאלותקלה: 25בינונית: 43קשה: 9

שאלה 1 · פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיהשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה חשבונית ana_nan​, ומסמנים ב-SnS_nSn​ את סכום nnn האיברים הראשונים בה. מגדירים סדרה חדשה bnb_nbn​ על ידי bn=Snnb_n=\frac{S_n}{n}bn​=nSn​​ לכל nnn טבעי. נתון כי bnb_nbn​ היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון 444 והפרשה 1.51.51.5.

א.

מצאו את a10a_{10}a10​.

ב.

האם קיים מספר טבעי n>1n>1n>1 שעבורו bn=anb_n=a_nbn​=an​? אם כן, מצאו אותו; אם לא, נמקו.

שאלה 2 · פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה חשבונית עולה ana_nan​, ומסמנים ב-SnS_nSn​ את סכום nnn האיברים הראשונים בה. נתון: a52−a4⋅a6=36a_5^2-a_4\cdot a_6=36a52​−a4​⋅a6​=36, וכן S10=250S_{10}=250S10​=250.

א.

מצאו את הפרש הסדרה ואת האיבר השלישי בסדרה.

ב.

מהו מספר האיברים הקטן ביותר שיש לחבר, החל מהאיבר הראשון, כדי שהסכום יעלה על 100010001000?

שאלה 3 · שלושת השלישים של סדרה חשבונית: בעיה הפוכה וסכום מרבישאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית בת 3n3n3n איברים, שההפרש שלה הוא d≠0d\neq0d=0. נסמן: PPP - הסכום של nnn האיברים הראשונים, MMM - הסכום של nnn האיברים האמצעיים, QQQ - הסכום של nnn האיברים האחרונים.

א.

הביעו באמצעות nnn ו-ddd את ההפרשים M−PM-PM−P ו-Q−MQ-MQ−M. מה אפשר להסיק על PPP, MMM ו-QQQ?

ב.

נתון: P=120P=120P=120, M=70M=70M=70, ddd הוא מספר שלם ו-n>1n>1n>1.

מצאו את nnn, את ddd ואת a1a_1a1​.

ג.

בסדרה שמצאתם בסעיף ב: כמה מאיברי הסדרה חיוביים? מהו הסכום הגדול ביותר של איברים ראשונים SkS_kSk​ (1≤k≤3n1\le k\le3n1≤k≤3n), ובעבור אילו ערכים של kkk הוא מתקבל?

ד.

מתבוננים בסדרה החשבונית האינסופית שהאיבר הראשון שלה וההפרש שלה הם אלה שמצאתם בסעיף ב. לכל nnn טבעי לוקחים את 3n3n3n האיברים הראשונים שלה, ומסמנים ב-M(n)M(n)M(n) את הסכום של nnn האיברים האמצעיים מביניהם.

מצאו את כל הערכים של nnn שבעבורם M(n)>0M(n)>0M(n)>0, ואת הערך של nnn שבעבורו M(n)M(n)M(n) הוא הגדול ביותר.

שאלה 4 · פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיהשאלה קצרה · קלה

בסדרה חשבונית ana_nan​ נתון: a4+a16=50a_4+a_{16}=50a4​+a16​=50.

א.

חשבו את a2+a10+a18a_2+a_{10}+a_{18}a2​+a10​+a18​.

ב.

נתון בנוסף כי a5=10a_5=10a5​=10. מצאו את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.

שאלה 5 · פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה חשבונית ana_nan​ שהפרשה ddd. מחלקים את איברי הסדרה לשלשות עוקבות ומגדירים סדרה חדשה bnb_nbn​ שאיבריה הם סכומי השלשות: bn=a3n−2+a3n−1+a3nb_n=a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}bn​=a3n−2​+a3n−1​+a3n​ לכל nnn טבעי (כלומר b1=a1+a2+a3b_1=a_1+a_2+a_3b1​=a1​+a2​+a3​, b2=a4+a5+a6b_2=a_4+a_5+a_6b2​=a4​+a5​+a6​, וכן הלאה).

א.

הוכיחו כי הסדרה bnb_nbn​ היא סדרה חשבונית, והביעו את הפרשה באמצעות ddd.

ב.

נתון: b1=15b_1=15b1​=15, b2=42b_2=42b2​=42. מצאו את סכום 303030 האיברים הראשונים של הסדרה ana_nan​.

שאלה 6 · מיצוע חוזר של סדרה חשבונית: האיבר הראשון של $B_{k}$ , ממוצע קבוע ואיבר שמופיע לפי זוגיותשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה חשבונית A ובה NNN איברים (N≥3N\ge3N≥3). האיבר הראשון שלה a1a_1a1​ והפרשה ddd (d≠0d\ne0d=0).
מהסדרה A בונים סדרה B1B_1B1​, שאיבריה הם הממוצעים של כל שני איברים סמוכים ב-A: a1+a22, a2+a32, …\frac{a_1+a_2}{2},\ \frac{a_2+a_3}{2},\ \dots2a1​+a2​​, 2a2​+a3​​, …
מהסדרה B1B_1B1​ בונים באותו אופן את הסדרה B2B_2B2​, מ-B2B_2B2​ את B3B_3B3​, וכן הלאה. בסדרה BkB_kBk​ יש N−kN-kN−k איברים (1≤k≤N−11\le k\le N-11≤k≤N−1).

א.

הביעו באמצעות a1a_1a1​, ddd ו-kkk את האיבר הראשון ואת ההפרש של הסדרה BkB_kBk​.

ב.

הוכיחו שממוצע האיברים בכל סדרה BkB_kBk​ שווה לממוצע האיברים בסדרה A.

ג.

נתון: סכום האיברים בסדרה A הוא 1200, סכום האיברים בסדרה B3B_3B3​ הוא 1110, ו-d=1.5d=1.5d=1.5.

מצאו את NNN ואת a1a_1a1​.

ד.

בסעיף זה A היא הסדרה מסעיף ג.

מצאו את כל הערכים של kkk (1≤k≤391\le k\le391≤k≤39) שבעבורם המספר 12 הוא איבר בסדרה BkB_kBk​.

שאלה 7 · סדרה הנדסית: תת-סדרת המקומות הזוגיים, סכום הופכיים ותנאי לשלושה איבריםשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית ana_nan​ שאיבריה: a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dotsa1​,a2​,a3​,… והמנה שלה qqq (q≠0q\neq0q=0).

א.

הראו שהאיברים במקומות הזוגיים a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \dotsa2​,a4​,a6​,… הם סדרה הנדסית, ומצאו (באמצעות a1a_1a1​ ו-qqq) את האיבר הראשון שלה ואת המנה שלה.

ב.

נתון: a2+a4+⋯+a20=4(a1+a3+⋯+a19)a_2+a_4+\dots+a_{20}=4(a_1+a_3+\dots+a_{19})a2​+a4​+⋯+a20​=4(a1​+a3​+⋯+a19​).

מצאו את qqq.

ג.

בונים סדרה חדשה: cn=1a2nc_n=\frac{1}{a_{2n}}cn​=a2n​1​, כלומר 1a2,1a4,1a6,…\frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_4}, \frac{1}{a_6}, \dotsa2​1​,a4​1​,a6​1​,…

הראו שלסדרה cnc_ncn​ יש סכום, והביעו אותו באמצעות a1a_1a1​.

ד.

נתונה הסדרה: 1a1,a1,a2\frac{1}{a_1}, a_1, a_2a1​1​,a1​,a2​.

(1)

האם ייתכן שסדרה זו חשבונית? נמקו.

(2)

האם ייתכן שסדרה זו הנדסית? אם כן, מצאו את a1a_1a1​.

שאלה 8 · פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

בסדרה חשבונית ana_nan​ נתון a1=21a_1=21a1​=21. מסמנים ב-SnS_nSn​ את סכום nnn האיברים הראשונים בסדרה, ונתון כי S7=S15S_7=S_{15}S7​=S15​.

א.

מצאו את a20a_{20}a20​.

ב.

האם קיים nnn שעבורו Sn=0S_n=0Sn​=0? אם כן, מצאו אותו; אם לא, נמקו.

שאלה 9 · סדרה חשבונית: מספר האיברים מסכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגייםשאלה מלאה · קשה

בסדרה חשבונית יש מספר אי-זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא 132, וסכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים הוא 120.

א.

מצאו את מספר האיברים בסדרה ואת האיבר האמצעי.

ב.

נתון גם שמכפלת האיבר הראשון והאיבר האחרון היא 80. מצאו את האיבר הראשון ואת ההפרש (כל האפשרויות).

ג.

עבור כל אחת מהסדרות שמצאתם, מצאו את המספר הקטן ביותר kkk שבעבורו סכום kkk האיברים הראשונים גדול מ-200.

שאלה 10 · סדרה חשבונית בת 30 איברים: האיברים האמצעיים ותת-סדרהשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה חשבונית בת 30 איברים: a1,a2,…,a30a_1,a_2,\ldots,a_{30}a1​,a2​,…,a30​, שההפרש שלה הוא ddd.

א.

הראו כי a11+a20=a1+a30a_{11}+a_{20}=a_1+a_{30}a11​+a20​=a1​+a30​, והסיקו כי סכום עשרת האיברים האמצעיים (a11a_{11}a11​ עד a20a_{20}a20​) שווה לשליש מסכום כל איברי הסדרה.

ב.

נתון: a1=29a_1=29a1​=29, וסכום עשרת האיברים האמצעיים הוא 0.

מצאו את ddd.

ג.

כמה מאיברי הסדרה חיוביים?

ד.

מוחקים חלק מן האיברים, ונשארים האיברים: a3,a6,a9,…,a30a_3,a_6,a_9,\ldots,a_{30}a3​,a6​,a9​,…,a30​.

הסבירו מדוע זו סדרה חשבונית, ומצאו את מספר איבריה ואת סכום איבריה.

עוד 29 שאלות על פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סדרה הנדסית מתחלפת: סכומי תת-סדרות, סדרת הופכיים ותנאי לשלושה איברים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית $a_n$ שאיבריה: $a_1, a_2, a_3, \dots$ והמנה שלה $q$ .
סדרה חשבונית: יחס בין סכומי שלישים כפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
בסדרה חשבונית שהפרשה $d\neq0$ יש $3n$ איברים. נסמן ב- $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ את הסכומים של $n$ האיברים הראשונים, של $n$ האיברים האמצעיים ושל $n$ …
סדרת הממוצעים של סדרה חשבונית: הוכחה מודרכת וסכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית A ובה 30 איברים. $d$ הוא הפרש הסדרה ( $d\ne0$ ). מגדירים סדרה נוספת B באופן הזה: $b_t=\frac{a_t+a_{t+1}}{2}$ . בסדרה B יש 29…
פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הסדרה: $\frac{1}{a}, a, a+6$ ( $a\neq0$ ).
שאלת חובה מורחבת: צעד ובסיס עם פרמטר, זוגיות בכיוון ההפוך, הצטברות ותנאי לסדרה (שאלה מלאה · קשה)
הוכיחו שהטענה נכונה לכל מספר שלם $k$ .
סדרה חשבונית עם פרמטר וסכום מתחלף של ריבועים, בשלבים (שאלה מלאה · קלה)
בסדרה חשבונית A נתון: $a_1=3k+1$ , $a_2=5k-1$ . $k$ הוא פרמטר.
סדרה חשבונית והסדרה $b_{n} = S_{n + 2} - S_{n}$ : סכום מתחלף של ריבועים ותת-סדרה במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A עולה שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ והפרשה $d$ . מסמנים ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה A, לכל $n$ טבעי.…
סדרת הפרשי הריבועים של סדרה חשבונית (שאלה קצרה · קשה)
נתונה סדרה חשבונית A ובה $2n$ איברים ( $n$ הוא מספר טבעי). $d$ הוא הפרש הסדרה ( $d\ne0$ ). מגדירים סדרה נוספת B באופן הזה:…
סדרה חשבונית בת 15 איברים: האיבר האמצעי (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית ובה 15 איברים, $a_1,a_2,\dots,a_{15}$ , שהפרשה $d$ .
שאלות קצרות: סדרה חשבונית בטרפז, סכום מכפלות עוקבים, פישוט טריגונומטרי ו- $\frac{1}{h ( x )}$ מגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$ . הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$ ,…
סדרות ממוצעים חוזרות: איבר ראשון, הפרש וממוצע (שאלת ביניים · קשה)
נתונה סדרה חשבונית A ובה $N$ איברים ( $N\ge3$ ). האיבר הראשון שלה $a_1$ והפרשה $d$ ( $d\ne0$ ). מהסדרה A בונים סדרה $B_1$ , שאיבריה הם הממוצעים…
שאלות קצרות: אסימפטוטות, איבר אמצעי בסדרה חשבונית, מקסימום של סינוס ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-2}$ . רשמו את תחום ההגדרה שלה ואת האסימפטוטות המקבילות לצירים.
סדרה חשבונית בת $5 n$ איברים: סכום האיברים האמצעיים ותת-סדרה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית: $a_1,a_2,\ldots,a_{5n}$ שבה $5n$ איברים, וההפרש שלה הוא $d$ . נסמן ב- $S_n^*$ את הסכום של $n$ האיברים האמצעיים של הסדרה.
סדרה חשבונית בת 30 איברים: סכומי עשיריות (שאלה מלאה · קלה)
בסדרה חשבונית יש 30 איברים, והפרשה $d$ . נסמן: $S_1$ - סכום 10 האיברים הראשונים, $S_2$ - סכום האיברים $a_{11}$ עד $a_{20}$ , $S_3$ - סכום 10…
פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית יש $2n+1$ איברים: $a_1,a_2,\ldots,a_{2n+1}$ .
שאלת חובה מודרכת: אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, הצטברות וסדרה חשבונית (שאלה מלאה · קלה)
הוכיחו את הטענה.
סדרה חשבונית וסדרת הפרשי הריבועים של איברים סמוכים: הפרש, יחס סכומים ואיברים אמצעיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A ובה $2n$ איברים ( $n$ הוא מספר טבעי). $d$ הוא הפרש הסדרה ( $d\ne0$ ). מגדירים סדרה נוספת B באופן הזה:…
השמטת האיבר הראשון: סדרה חשבונית עם אותו הפרש (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית עולה A: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ שהפרשה $d$ . מגדירים סדרה B: $b_1, b_2, b_3, \ldots$ כך ש- $b_n=a_{n+1}$ לכל $n$ טבעי…
פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית $a_t$ שהפרשה $d$ ( $d\ne0$ ). מגדירים סדרה חדשה: $e_t=a_{t+1}a_{t+2}-a_ta_{t+1}$ .
סדרה חשבונית עם פרמטר: מונוטוניות, סדרה חדשה וסכום מתחלף של ריבועים (שאלה מלאה · בינונית)
בסדרה חשבונית A נתון: $a_2=7-2k$ , $a_6=3+6k$ . $k$ הוא פרמטר.
פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית שהאיבר הכללי שלה $a_n=7-2n$ . סדרה חדשה $c_n$ מוגדרת כך: לכל $n$ טבעי, $c_n=a_{2n}+5n$ .
סדרה חשבונית עם מספר אי-זוגי של איברים: האיבר האמצעי וסכום המקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ ובה $2n+1$ איברים ( $n$ מספר טבעי). סכום הסדרה גדול פי 31 מן האיבר האמצעי. האיבר האמצעי שונה מ-0.
פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית יש 25 איברים, וסכומם 400.
שאלות קצרות: אסימפטוטות של פונקציות שורש, סכום סדרה חשבונית, מקסימום של סינוס וקוסינוס ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-16}}{2x+3}$
סדרה חשבונית: סכום השליש האמצעי (שאלה מלאה · בינונית)
בסדרה חשבונית יש $3n$ איברים. סכום $n$ האיברים הראשונים שווה לנגדי של סכום $n$ האיברים האחרונים.
פעולות על סדרה חשבונית ותכונותיה (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית $a_1=21$ , ונתון: $a_3+a_{11}=0$ .
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם טענה: אם ל- $n$ טבעי מסוים $5^n+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית, אז גם $5^{n+1}+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית. רונית אומרת: הטענה שלמעלה מספיקה כדי…
לקיחת כל איבר שלישי: הפרש, מספר איברים וסכום (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית בת 30 איברים: $a_1,a_2,\ldots,a_{30}$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_k=31-2k$ (האיבר הראשון 29 וההפרש $d=-2$ ).
הוספת סדרה לינארית וסכום הפרשי ריבועים (שאלת ביניים · בינונית)
בסדרה חשבונית A נתון: $a_1=3k+1$ , $a_2=5k-1$ , כאשר $k=-1$ . נתונה סדרה B: לכל $n$ טבעי, $b_n=a_n+7n$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרה הנדסית: סכומי תת-סדרות, סדרת הופכיים מתכנסת ותנאי לשלושה איברים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית $a_n$ שאיבריה: $a_1, a_2, a_3, \dots$ והמנה שלה $q$ .
סדרה חשבונית והסדרה $b_{n} = S_{n + 1} - S_{n}$ : סכום מתחלף של ריבועים ותת-סדרה במקומות האי-זוגיים · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 2
נתונה סדרה חשבונית A עולה שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ והפרשה $d$ . מסמנים ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה A, לכל $n$ טבעי. מגדירים סדרה נוספת,…
שאלות קצרות: סדרה חשבונית במרובע, סכום ריבועים, פישוט טריגונומטרי ו- $\frac{1}{g ( x )}$ מגרף · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$ . הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$ , $\angle B=a_2$ ,…
סדרה חשבונית בת $3 n$ איברים: סכום האיברים האמצעיים ותת-סדרה · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 2
נתונה סדרה חשבונית: $a_1,a_2,\ldots,a_{3n}$ שבה $3n$ איברים, וההפרש שלה הוא $d$ . נסמן ב- $S_n^*$ את הסכום של $n$ האיברים האמצעיים של הסדרה.
סדרה חשבונית וסדרת הממוצעים של איברים סמוכים: הפרש, יחס סכומים ואיברים אמצעיים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2
נתונה סדרה חשבונית A ובה $2n$ איברים ( $n$ הוא מספר טבעי). $d$ הוא הפרש הסדרה ( $d\ne0$ ). מגדירים סדרה נוספת B באופן הזה: $b_t=\frac{a_t+a_{t+1}}{2}$ . בסדרה B יש…
סדרה חשבונית עם פרמטר: מונוטוניות, סדרה חדשה וסכום מתחלף של ריבועים · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 2
בסדרה חשבונית A נתון: $a_1=-4-4k$ , $a_3=-16+2k$ . $k$ הוא פרמטר.
סדרה חשבונית עם מספר אי-זוגי של איברים: האיבר האמצעי וסכומי המקומות הזוגיים והאי-זוגיים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n+3}$ ובה $2n+3$ איברים ( $n$ הוא מספר טבעי). סכום הסדרה גדול פי 43 מן האיבר האמצעי. האיבר האמצעי שונה מ-0.
שאלות קצרות: אסימפטוטות של פונקציות שורש, סכום סדרה חשבונית, מקסימום של סינוס ומשפט הסינוסים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה.
סדרה חשבונית: שלושה שלישים של סדרה וסכומיהם · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
בסדרה חשבונית יש $3n$ איברים. סכום $n$ האיברים האחרונים גדול פי 2 מסכום $n$ האיברים הקודמים להם.
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים:

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (28)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

סכום n האיברים הראשונים (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית עולה $a_n$ . נתון: $a_5^2-a_4\cdot a_6=36$ , וסכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה הוא $250$ .
הוכחה שסדרה היא חשבונית (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית $a_n$ יש $25$ איברים, וסכום כל איבריה הוא $750$ . נסמן ב- $d$ את הפרש הסדרה. מגדירים סדרה חדשה:…
כל איבר הוא ממוצע חשבוני של שכניו (שאלה קצרה · בינונית)
סדרה חשבונית $a_n$ מקיימת לכל $n$ טבעי: $a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=12n+3$ .
הגדרה, הפרש ואיבר כללי (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית $a_1, a_2, a_3, \dots$ שבה $a_1=3$ . מגדירים סדרה חדשה $b_n$ לפי הכלל $b_n=a_{2n+1}-a_n$ .…
מעבר בין איבר כללי לכלל נסיגה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הסדרה $a_n=\frac{n^2+kn+6}{n+2}$ לכל $n$ טבעי, כאשר $k$ פרמטר.
כל איבר הוא ממוצע חשבוני של שכניו (שאלה קצרה · קלה)
בסדרה חשבונית יורדת האיבר השני הוא $m^2$ , האיבר החמישי הוא $3m+3$ והאיבר השמיני הוא $m+10$ , כאשר $m$ פרמטר.
סכום n האיברים הראשונים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית סופית יש $n$ איברים. נתון: $a_4+a_{n-3}=40$ , סכום כל איברי הסדרה הוא $360$ , ו- $a_6=13$ .
הוכחה שסדרה היא חשבונית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית $a_n$ שהפרשה $d$ , ומסמנים ב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים שלה. מגדירים סדרה חדשה:…
הוכחה שסדרה היא חשבונית (שאלה קצרה · קלה)
נתונות שתי סדרות חשבוניות $a_n$ ו- $b_n$ . הפרש הסדרה $a_n$ הוא $4$ , ונסמן את הפרש הסדרה $b_n$ ב- $d$ . מגדירים…
סכום n האיברים הראשונים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית עולה $a_n$ שבה $a_1<0$ . נתון: סכום $15$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $0$ , וכן…
הגדרה, הפרש ואיבר כללי (שאלת ביניים · קשה)
נתונות שתי סדרות חשבוניות: $a_n=3n+2$ ו- $b_n=5n-1$ , כאשר $n$ מספר טבעי. מכל סדרה לוקחים את $100$ האיברים…
סכום n האיברים הראשונים (שאלה קצרה · קשה)
בסדרה חשבונית סכום $n$ האיברים הראשונים הוא $S_n=50$ , וסכום $2n$ האיברים הראשונים הוא $S_{2n}=170$ .
הוכחה שסדרה היא חשבונית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הסדרה $a_n=|2n-k|$ לכל $n$ טבעי, כאשר $k$ פרמטר.
תת-סדרות: איברים במקומות זוגיים ואי-זוגיים (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה חשבונית יש מספר אי-זוגי של איברים. סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים הוא $144$ , וסכום האיברים…
סדרה חשבונית: נוסעים בקרונות של רכבת (שאלה מלאה · בינונית)
לרכבת מסוימת יש 11 קרונות. ביום א', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול במספר קבוע ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. מספר…
סדרה חשבונית: שתילים בערוגות של גינה (שאלה מלאה · קלה)
בגינה קהילתית יש 13 ערוגות. בעונה הראשונה, מספר השתילים בכל ערוגה היה גדול במספר קבוע ממספר השתילים בערוגה…
סדרה חשבונית: מבקרים בתערוכה ומספר ימים לא ידוע (שאלה מלאה · קלה)
תערוכה נמשכה מספר אי-זוגי של ימים. מספר המבקרים בכל יום היה גדול במספר קבוע ממספר המבקרים ביום שלפניו. בכל ימי…
כל איבר הוא ממוצע חשבוני של שכניו (שאלה קצרה · קלה)
דני התאמן במשך 13 ימים. מספר דקות האימון בכל יום היה גדול במספר קבוע ממספר דקות האימון ביום שלפניו. בכל 13…
סדרות חשבוניות: איברים במקומות אי-זוגיים וסדרת סכומים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 25 איברים. נתון: $a_{13}=20$ , הפרש הסדרה הוא 6.
סדרות חשבוניות: איברים במקומות זוגיים וסדרת סכומים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 21 איברים. נתון: $a_9=7$ , הפרש הסדרה הוא $-4$ .
סדרות חשבוניות: מסכום תת-סדרה לאיבר הראשון, ומספר האיברים השליליים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: $a_1,a_2,a_3,\dots$ ובה 25 איברים. הפרש הסדרה הוא 6, וסכום האיברים שנמצאים…
הוכחה שסדרה היא חשבונית (שאלה קצרה · קלה)
נתונות שתי סדרות חשבוניות, ובכל אחת מהן 20 איברים. בסדרה A האיבר הראשון הוא 40 וההפרש הוא $-5$ . בסדרה B האיבר…
שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
בסדרה הנדסית שאיבריה שונים מאפס, שלושת האיברים הראשונים $a_1, a_2, a_3$ מהווים (באותו סדר) גם סדרה חשבונית.
שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
שלושה מספרים מהווים סדרה חשבונית שסכומה $15$ . אם מוסיפים למספר הראשון $1$ , למספר השני $4$ ולמספר השלישי $19$ ,…
שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
שלושה מספרים שונים $a$ , $b$ , $c$ (בסדר זה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית. המספרים $c$ , $a$ , $b$ (בסדר…
שאלות המשלבות סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
המספרים $a$ , $b$ , $c$ (השונים מאפס) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, והמספרים $a$ , $2b$ , $3c$ הם שלושה…
סדרה הנדסית וחשבונית: יריד ספרים ותרומה (שאלה מלאה · בינונית)
יריד ספרים ביישוב מסוים נמשך 7 ימים. כמות הספרים שנמכרו בכל יום ביריד הייתה גדולה פי 2 מכמות הספרים שנמכרו…
סדרה הנדסית וחשבונית: הורדות אפליקציה ופרסום (שאלה מלאה · קלה)
חברה השיקה אפליקציה חדשה ועקבה אחר מספר ההורדות שלה במשך 6 שבועות. מספר ההורדות בכל שבוע היה גדול פי 3 ממספר…