מבחן לדוגמה: הגדרה, מנה ואיבר כללי - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.

כמה איברים בסדרה קטנים מ-$1000$?

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום $x\ge-2$.

נתון כי $f(x)=x\sqrt{x+2}$ או $f(x)=-x\sqrt{x+2}$.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$. לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד, $(-2,5)$, ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד, $y=0$. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $(0,2)$.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)-4}$.

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ ($\angle ACB=90^\circ$).

אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית עולה שמנתה $q$. האיבר הראשון בסדרה הוא אורך הצלע הקצרה $BC$, ונתון $BC=2$.

מצאו את כל הערכים האפשריים של מנת הסדרה $q$, ולכל אחד מהם את האיבר הראשון $a_1$.

מצאו את הערך של $a_2$ (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה A לא עולה ולא יורדת.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין-סופית חדשה B. נתון כי איברי הסדרה B מקיימים $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ לכל $n$ טבעי.

הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה הנדסית אין-סופית נוספת C. איברי הסדרה C הם: $k\cdot a_1\cdot a_3,\ k\cdot a_3\cdot a_5,\ k\cdot a_5\cdot a_7, \ldots$. $k\ne0$ הוא פרמטר.

נסמן ב-$S_B$ את סכום הסדרה B, וב-$S_C$ את סכום הסדרה C.

נתון $S_C=3\cdot S_B$.

מצאו את הערך של $k$.

מצאו את שלושת המספרים ואת מנת הסדרה ההנדסית. מצאו את כל האפשרויות.

האם ייתכן שהאיבר הראשון בסדרה שווה לאורך היתר $AB$? נמקו את תשובתכם.

מצאו את היקף המשולש $ABC$ (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש).