שאלות פתוחות: הגדרה, מנה ואיבר כללי - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על סדרה הנדסית - הגדרה, מנה ואיבר כללי - לכיתה י"א, 5 יחידות. יש שאלות שבהן נתונים הפרשים בין איברים ומוצאים את המנה, שאלות על שלושה איברים ראשונים שסכומם ומכפלתם ידועים, שלושה ביטויים עם פרמטר שמהווים סדרה הנדסית מתחלפת סימן, ושאלה שמשלבת סדרה חשבונית שהופכת להנדסית אחרי הוספת מספרים. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. מתאים לבוחן פתיחה בסדרה הנדסית או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

37 שאלותקלה: 9בינונית: 24קשה: 4

שאלה 1 · הגדרה, מנה ואיבר כללישאלה קצרה · קלה

בסדרה הנדסית ana_nan​ של מספרים חיוביים נתון: a3−a1=12a_3-a_1=12a3​−a1​=12 וכן a4−a2=24a_4-a_2=24a4​−a2​=24.

א.

מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.

ב.

כמה איברים בסדרה קטנים מ-100010001000?

שאלה 2 · הגדרה, מנה ואיבר כללישאלת ביניים · בינונית

בסדרה הנדסית עולה של מספרים ממשיים, סכום שלושת האיברים הראשונים הוא 212121 ומכפלתם היא 646464.

א.

מצאו את שלושת האיברים הראשונים ואת מנת הסדרה.

ב.

מהו מספר האיברים בסדרה הקטנים מ-10,00010{,}00010,000?

שאלה 3 · הגדרה, מנה ואיבר כללישאלה קצרה · קשה

שלושה מספרים מהווים סדרה חשבונית שסכומה 151515. אם מוסיפים לראשון 111, לשני 444 ולשלישי 191919, מתקבלים שלושה איברים עוקבים של סדרה הנדסית.

מצאו את שלושת המספרים ואת מנת הסדרה ההנדסית. מצאו את כל האפשרויות.

שאלה 4 · שאלות קצרות מודרכות: יחס רדיוסים, ביטויי ברנולי, קיצון של $f^{'}$ ושטח מתחת ל- $f^{''}$ , סדרת זוויותשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם משולש ABCABCABC. הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC.
נתון: AB=10AB=10AB=10, AC=6AC=6AC=6.
BCAD

(1)

הסבירו מדוע sin⁡∠ADB=sin⁡∠ADC\sin\angle ADB=\sin\angle ADCsin∠ADB=sin∠ADC.

(2)

מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש ABDABDABD ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש ACDACDACD.

ב.

ההסתברות שזרע שנשתל ינבט היא 0.9, בלי תלות בזרעים האחרים. שותלים 3 זרעים.
לפניכם שני ביטויים:
ביטוי 1: 1−0.131-0.1^31−0.13
ביטוי 2: 3⋅0.92⋅0.1+0.933\cdot0.9^2\cdot0.1+0.9^33⋅0.92⋅0.1+0.93
קבעו איזו מן ההסתברויות I-III מחושבת על ידי ביטוי 1 ואיזו על ידי ביטוי 2, וחשבו את ההסתברות שנותרה.
I. ההסתברות שלפחות זרע אחד ינבט.
II. ההסתברות שלפחות שני זרעים ינבטו.
III. ההסתברות שבדיוק שני זרעים ינבטו.

ג.

בסרטוט שלפניכם הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)=x(x−3)2f'(x)=x(x-3)^2f′(x)=x(x−3)2 של פונקציה f(x)f(x)f(x).
f′(x)

(1)

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f′(x)f'(x)f′(x), והסבירו מדוע בנקודות אלה הגרף של f′′(x)f''(x)f′′(x) חותך את ציר ה-xxx.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′′(x)f''(x)f′′(x), ציר ה-xxx וציר ה-yyy ברביע הראשון, ואת השטח המוגבל על ידי גרף f′′(x)f''(x)f′′(x) וציר ה-xxx ברביע הרביעי.

ד.

במעגל שמרכזו OOO ורדיוסו 2 בונים סדרה אין-סופית של משולשים שווי שוקיים, ששוקיהם רדיוסים וזוויות הראש שלהם זוויות מרכזיות.
זווית הראש של המשולש הראשון (ΔAOB\Delta AOBΔAOB) היא 80∘80^\circ80∘, וזווית הראש של כל משולש נוסף קטנה פי 2 מזווית הראש של המשולש שלפניו.
80°40°OABC

(1)

הראו שזוויות הראש של המשולשים הן סדרה הנדסית אין-סופית מתכנסת, וחשבו את הסכום של כל זוויות הראש.

(2)

חשבו את השטחים של שלושת המשולשים הראשונים (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית), וקבעו אם שטחי המשולשים הם סדרה הנדסית.

שאלה 5 · הגדרה, מנה ואיבר כללישאלה קצרה · בינונית

המספרים a−2a-2a−2, a+2a+2a+2, 3a−123a-123a−12 הם, בסדר זה, שלושת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית שסימני איבריה מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי, ... או להפך).

א.

מצאו את aaa ואת מנת הסדרה.

ב.

מצאו את האיבר החמישי בסדרה.

שאלה 6 · סדרה הנדסית שבה $a_{4} \cdot a_{9} = 1$ : סימן המנה, זוגות הפכיים ומכפלה מקסימליתשאלה מלאה · קשה

ana_nan​ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה qqq, q≠1q\neq1q=1.
נתון: a4⋅a9=1a_4\cdot a_9=1a4​⋅a9​=1.

א.

הוכיחו כי q>0q>0q>0.

ב.

נתון a1>0a_1>0a1​>0. הביעו את ana_nan​ בעזרת qqq ו-nnn.

ג.

מצאו את כל הזוגות של מספרים טבעיים n<mn<mn<m שעבורם an⋅am=1a_n\cdot a_m=1an​⋅am​=1.

ד.

נתון 0<q<10<q<10<q<1. נסמן Pk=a1⋅a2⋅…⋅akP_k=a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_kPk​=a1​⋅a2​⋅…⋅ak​. מצאו את kkk שעבורו Pk=1P_k=1Pk​=1, ואת kkk שעבורו PkP_kPk​ מקסימלי; הביעו את הערך המקסימלי בעזרת qqq.

שאלה 7 · שאלות קצרות מודרכות: סכום $n (n + 1)$ באינדוקציה, בחירת סימן של פונקציית שורש ושטח של $f^{2}$ , $\frac{1}{f - 4}$ מגרף, משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסיתשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הראו כי לכל kkk טבעי מתקיים: k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)3\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}3k(k+1)(k+2)​+(k+1)(k+2)=3(k+1)(k+2)(k+3)​.

(2)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅2+2⋅3+3⋅4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}1⋅2+2⋅3+3⋅4+…+n(n+1)=3n(n+1)(n+2)​.

ב.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום x≥−2x\ge-2x≥−2.
נתון כי f(x)=xx+2f(x)=x\sqrt{x+2}f(x)=xx+2​ או f(x)=−xx+2f(x)=-x\sqrt{x+2}f(x)=−xx+2​.

(1)

קבעו איזה מן הביטויים מייצג את f(x)f(x)f(x). נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x)=\left(f(x)\right)^2g(x)=(f(x))2 המוגדרת בתחום x≥−2x\ge-2x≥−2.

(2)

הראו כי g(x)=x3+2x2g(x)=x^3+2x^2g(x)=x3+2x2, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) ועל ידי ציר ה-xxx.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד, (−2,5)(-2,5)(−2,5), ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד, y=0y=0y=0. גרף הפונקציה חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,2)(0,2)(0,2).
(0,2)(-2,5)
נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)−4g(x)=\frac{1}{f(x)-4}g(x)=f(x)−41​.

(1)

הסבירו מדוע לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש אסימפטוטה אנכית בכל נקודה שבה f(x)=4f(x)=4f(x)=4, וקבעו לפי הסרטוט כמה אסימפטוטות אנכיות יש לפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(3)

חשבו את g(−2)g(-2)g(−2), וקבעו אם הנקודה (−2,g(−2))(-2,g(-2))(−2,g(−2)) היא נקודת מינימום או נקודת מקסימום של g(x)g(x)g(x).

ד.

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABCABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘).
CBA
אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית עולה שמנתה qqq. האיבר הראשון בסדרה הוא אורך הצלע הקצרה BCBCBC, ונתון BC=2BC=2BC=2.

(1)

הסבירו מדוע הצלע ABABAB היא האיבר השלישי בסדרה, והביעו את ACACAC ואת ABABAB באמצעות המנה qqq.

(2)

הראו כי q4−q2−1=0q^4-q^2-1=0q4−q2−1=0, ומצאו את אורך הצלע ABABAB.

שאלה 8 · הגדרה, מנה ואיבר כללישאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית ana_nan​ נתון: a1⋅a5=36a_1\cdot a_5=36a1​⋅a5​=36 וכן a2+a4=−15a_2+a_4=-15a2​+a4​=−15.

מצאו את כל הערכים האפשריים של מנת הסדרה qqq, ולכל אחד מהם את האיבר הראשון a1a_1a1​.

שאלה 9 · צלעות משולש ישר זווית כשלושה איברים של סדרה הנדסיתשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABCABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘).
CAB
נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע ACACAC.
נתון: AC=6AC=6AC=6.

א.

האם ייתכן שהאיבר הראשון בסדרה שווה לאורך היתר ABABAB? נמקו את תשובתכם.

ב.

מצאו את היקף המשולש ABCABCABC (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש).

שאלה 10 · סדרה הנדסית עם מנה 2: איבר אמצעי ומכפלת איבריםשאלה מלאה · קלה

ana_nan​ היא סדרה הנדסית שהמנה שלה q=2q=2q=2. נתון: a2⋅a8=64a_2\cdot a_8=64a2​⋅a8​=64.

א.

הראו כי a2⋅a8=a52a_2\cdot a_8=a_5^2a2​⋅a8​=a52​, ומצאו את שתי האפשרויות ל-a5a_5a5​.

ב.

נתון a5>0a_5>0a5​>0. מצאו את a1a_1a1​.

ג.

מצאו את nnn שעבורו a1⋅an=64a_1\cdot a_n=64a1​⋅an​=64.

ד.

חשבו את המכפלה a1⋅a2⋅…⋅a9a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_9a1​⋅a2​⋅…⋅a9​.

עוד 12 שאלות על הגדרה, מנה ואיבר כללי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סדרה הנדסית: סדרת הריבועים, סכום מתחלף ותת-סדרה במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ומנתה היא $q$ . כל איברי הסדרה A שונים מאפס.
בקבוקים למחזור: מספר הבקבוקים בשבוע האחרון (שאלה קצרה · קלה)
תלמידי שכבה ט' בבית ספר אספו בקבוקים ריקים והעבירו אותם למחזור. תלמידי שכבה ט' אספו בקבוקים במשך 5 שבועות. בשבוע הראשון הם אספו 160 בקבוקים,…
שאלות קצרות: יחס רדיוסים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות מרכזיות (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $EDC$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $BDE$ . נמקו את תשובתכם.
סדרה הנדסית: סדרות של מכפלות איברים, מונוטוניות וסכום אין-סופי עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ . נתון: $a_1-3a_3=12$ , $\frac{a_5}{a_3}=\frac19$ .
סדרה הנדסית מתחלפת סימן, סדרה $b_{n} = a_{n} \cdot k^{n}$ , תנאי התכנסות ומחיקת כל איבר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ובה $m$ איברים ( $m$ הוא מספר טבעי גדול מ-2). נתון: הסימנים של איברי הסדרה A מתחלפים…
שאלות קצרות: סכום $n (n + 2)$ באינדוקציה, $x 9 - x^{2}$ ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 3}$ , שטח משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $b$ .
שאלות קצרות: סכום $k \cdot 3^{k - 1}$ באינדוקציה, $(x - 3) 4 x - x^{2}$ ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , היקף משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $b$ .
שאלות קצרות: משיקים בזווית $12 0^{\circ}$ ויחס שטחים, פרמטר בהסתברות של פריטים במפעל, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (πn)$ (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AOB$ משטח המשולש $AKB$ .
שאלות קצרות: יחס שטחים כשאורך המשיק נתון, פרמטר בהסתברות של שני חצים, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (\frac{4 ^{n} π}{3})$ (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AKB$ משטח המשולש $AOB$ .
סדרה הנדסית אין-סופית: סכום הסדרה וסכום המקומות האי-זוגיים, סדרת מכפלות והוכחת סכום באינדוקציה (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא $q$ . נסמן ב- $S$ את סכום כל האיברים בסדרה, ונסמן ב- $T$ את סכום האיברים…
סדרה הנדסית שבה $a_{2} \cdot a_{10} = 9$ : איבר אמצעי, איברים מתאימים ומכפלת איברים (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה היא $q$ . $|q|\neq1$ . נתון: $a_2\cdot a_{10}=9$ .
שלושה ביטויים עם פרמטר בסדרה הנדסית מתחלפת סימן (שאלה קצרה · בינונית)
המספרים $a-2$ , $a+2$ , $3a-12$ הם, בסדר זה, שלושת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית שסימני איבריה מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי, ... או להפך).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרה הנדסית: סדרת ההופכיים, יחס סכומים וסדרה עם סימנים מתחלפים · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם: $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ומנתה היא $q$ . כל איברי הסדרה A שונים מאפס.
שאלות קצרות: רדיוסים של מעגלים חוסמים, ביטויי ברנולי, גרפי $f^{'}$ ו- $f^{''}$ , סדרת זוויות אין-סופית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1
מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש $HBF$ ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש $GEA$ . נמקו את תשובתכם.
סדרה הנדסית: סדרות של הופכי מכפלות איברים, מונוטוניות וסכום אין-סופי עם פרמטר · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ . נתון: $2a_2+8=a_4$ , $\frac{a_4}{a_2}=4$ .
סדרה הנדסית שלילית, סדרה $b_{n} = \frac{k ^{n}}{a _{n}}$ , תנאי התכנסות ומחיקת כל איבר שלישי · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ובה $m$ איברים ( $m$ הוא מספר טבעי גדול מ-4). נתון: כל איברי הסדרה A הם שליליים. סכום $m-4$ האיברים…
שאלות קצרות: נוסחת סכום באינדוקציה, התאמת פונקציית שורש לגרף ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
מצאו את הערך של $b$ .
שאלות קצרות: יחס שטחים בין משיקים מאונכים, פרמטר בהסתברות של שני משחקי שחמט, סכום שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (π \cdot 2^{n})$ · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 1
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AOB$ משטח המשולש $AKB$ .
סדרה הנדסית אין-סופית: סכומי המקומות האי-זוגיים והזוגיים, סדרת מכפלות והוכחת סכום באינדוקציה · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 2
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא $q$ . נסמן ב- $T$ את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה, ונסמן ב- $R$ את סכום…
סדרה הנדסית שבה $a_{3} \cdot a_{7} = 1$ : איבר אמצעי, איברים הפוכים ומכפלת איברים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה היא $q$ . $|q|\neq1$ . נתון: $a_3\cdot a_7=1$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (7)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מציאת הכמות ההתחלתית (שאלה קצרה · קלה)
בתחילת שנת 2020 היו ביישוב A 80,000 תושבים, ומספר התושבים ביישוב זה גדל ב-5% בכל שנה. מספר התושבים ביישוב B…
הגדרה, מנה ואיבר כללי (שאלה קצרה · קלה)
בסדרה הנדסית נתון: $a_3=k$ , $a_6=k^4$ , כאשר $k\ne 0$ .
מעבר בין איבר כללי לכלל נסיגה (שאלה קצרה · קשה)
סדרה מוגדרת על ידי $a_1=6^{10}$ ו- $a_{n+1}=\frac{a_n}{12}$ לכל $n\ge 1$ .
הקשר בין האיבר הכללי לסכום: aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ (שאלה קצרה · בינונית)
סכום $n$ האיברים הראשונים של סדרה נתון לכל $n\ge1$ על ידי $S_n=k\cdot3^n-5$ , כאשר $k$ פרמטר.
הקשר בין האיבר הכללי לסכום: aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה נתון $a_1=3$ , ולכל $n\ge2$ מתקיים $S_n=2S_{n-1}+3$ , כאשר $S_n$ הוא סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה.
הקשר בין האיבר הכללי לסכום: aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ (שאלה קצרה · קלה)
סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה נתון לכל $n\ge1$ על ידי $S_n=2\cdot3^n-2$ .
הגדרה, מנה ואיבר כללי (שאלה קצרה · קלה)
בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים יש 8 איברים. האיבר השביעי בסדרה גדול פי 16 מן האיבר השלישי, וסכום שני האיברים…