מבחן לדוגמה: כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקות - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $a_1$.

מצאו את המקום של האיבר הראשון בסדרה שקטן מ-$\frac{1}{100}$.

הביעו את $a_n$ כחזקה של $2$.

מצאו את המספר הטבעי $n$ שעבורו $a_n\cdot a_{n+1}=2^{12}$.

הוכיחו כי הסדרה $b_n$ היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות $q$.

מצאו את $q$ ואת $a_1$.

מצאו את הערך של $q$.

נתונה סדרה $b_n$ שאיבריה מקיימים $b_n=\frac{1+q}{a_n\cdot a_{n+2}}$ לכל $n$ טבעי. נתון: $b_1=\frac23$.

מצאו את הערך של $a_1$.

הביעו באמצעות $n$ את $b_n$.

הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $b_1+b_2+\ldots+b_n=\frac{2(4^n-1)}{9}$.

הוכיחו כי $q>0$.

נתון $a_1>0$. הביעו את $a_n$ בעזרת $q$ ו-$n$.

מצאו את כל הזוגות של מספרים טבעיים $n<m$ שעבורם $a_n\cdot a_m=1$.

הוכיחו כי $q>0$.

נתון $a_1>0$. הביעו את $a_n$ בעזרת $q$ ו-$n$.

מצאו את כל הזוגות של מספרים טבעיים $n<m$ שעבורם $a_n\cdot a_m=1$.

נתון $0<q<1$. נסמן $P_k=a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_k$. מצאו את $k$ שעבורו $P_k=1$, ואת $k$ שעבורו $P_k$ מקסימלי; הביעו את הערך המקסימלי בעזרת $q$.