שאלות פתוחות: כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקות - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול כלל הנסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקות לכיתה י"א, 5 יחידות. השאלות כוללות כלל נסיגה עם שורשים, כמו a_{n+1}=∛4·a_n, כלל נסיגה עם פרמטר שבו צריך למצוא אילו ערכים מתאימים לנתונים, מכפלות של איברים כמו a_4·a_9=1, וסדרה חדשה של מכפלות שני איברים עוקבים. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. בוחרים מכאן שאלות לדף עבודה או לבוחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא ואפשרות לייצוא ל-Word.

33 שאלותקלה: 9בינונית: 20קשה: 4

שאלה 1 · כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקותשאלה קצרה · קלה

סדרה מוגדרת על ידי a1=23a_1=\sqrt[3]{2}a1​=32​ ו-an+1=43⋅ana_{n+1}=\sqrt[3]{4}\cdot a_nan+1​=34​⋅an​ לכל n≥1n\ge1n≥1.

א.

הביעו את ana_nan​ כחזקה של 222.

ב.

מצאו את המספר הטבעי nnn שעבורו an⋅an+1=212a_n\cdot a_{n+1}=2^{12}an​⋅an+1​=212.

שאלה 2 · כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקותשאלה קצרה · בינונית

סדרה מוגדרת על ידי a1=2a_1=2a1​=2 ו-an+1=(k2−3k)⋅ana_{n+1}=(k^2-3k)\cdot a_nan+1​=(k2−3k)⋅an​ לכל n≥1n\ge1n≥1, כאשר kkk פרמטר. נתון: a3=8a_3=8a3​=8, והסדרה מתחלפת סימן.

א.

מצאו את הערכים האפשריים של kkk.

ב.

מצאו את a6a_6a6​.

שאלה 3 · סדרה הנדסית שבה $a_{4} \cdot a_{9} = 1$ : סימן המנה, זוגות הפכיים ומכפלה מקסימליתשאלה מלאה · קשה

ana_nan​ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה qqq, q≠1q\neq1q=1.
נתון: a4⋅a9=1a_4\cdot a_9=1a4​⋅a9​=1.

א.

הוכיחו כי q>0q>0q>0.

ב.

נתון a1>0a_1>0a1​>0. הביעו את ana_nan​ בעזרת qqq ו-nnn.

ג.

מצאו את כל הזוגות של מספרים טבעיים n<mn<mn<m שעבורם an⋅am=1a_n\cdot a_m=1an​⋅am​=1.

ד.

נתון 0<q<10<q<10<q<1. נסמן Pk=a1⋅a2⋅…⋅akP_k=a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_kPk​=a1​⋅a2​⋅…⋅ak​. מצאו את kkk שעבורו Pk=1P_k=1Pk​=1, ואת kkk שעבורו PkP_kPk​ מקסימלי; הביעו את הערך המקסימלי בעזרת qqq.

שאלה 4 · כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקותשאלה קצרה · קלה

סדרה הנדסית מקיימת את כלל הנסיגה an+1=19ana_{n+1}=\frac19 a_nan+1​=91​an​ לכל n≥1n\ge1n≥1. נתון: a4=9a_4=9a4​=9.

א.

מצאו את a1a_1a1​.

ב.

מצאו את המקום של האיבר הראשון בסדרה שקטן מ-1100\frac{1}{100}1001​.

שאלה 5 · כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקותשאלה קצרה · בינונית

ana_nan​ היא סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים ומנתה qqq. לכל nnn טבעי מגדירים bn=an⋅an+1b_n=a_n\cdot a_{n+1}bn​=an​⋅an+1​. נתון: b1=128b_1=128b1​=128, b3=8b_3=8b3​=8.

א.

הוכיחו כי הסדרה bnb_nbn​ היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות qqq.

ב.

מצאו את qqq ואת a1a_1a1​.

שאלה 6 · מספר האיברים מתוך מכפלת כל האיבריםשאלה קצרה · קשה

בסדרה הנדסית בת 2m2m2m איברים, a1,a2,…,a2ma_1,a_2,\dots,a_{2m}a1​,a2​,…,a2m​, מתקיים ak⋅a2m+1−k=a1⋅a2ma_k\cdot a_{2m+1-k}=a_1\cdot a_{2m}ak​⋅a2m+1−k​=a1​⋅a2m​ לכל 1≤k≤2m1\le k\le2m1≤k≤2m.

בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים יש 2n2n2n איברים. מכפלת איברי הסדרה היא 1,073,741,8241{,}073{,}741{,}8241,073,741,824, ומכפלת שני האיברים האמצעיים היא 323232. חשבו את מספר האיברים בסדרה.

שאלה 7 · איבר ראשון מכלל נסיגה של סדרה הנדסיתשאלה קצרה · קלה

סדרה הנדסית מקיימת את כלל הנסיגה an+1=19ana_{n+1}=\frac19 a_nan+1​=91​an​ לכל n≥1n\ge1n≥1. נתון: a4=9a_4=9a4​=9.

מצאו את a1a_1a1​.

שאלה 8 · כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקותשאלה קצרה · בינונית

סדרה ana_nan​ שכל איבריה שונים מאפס מקיימת לכל n≥1n\ge1n≥1: (an+1)2=an⋅an+2(a_{n+1})^2=a_n\cdot a_{n+2}(an+1​)2=an​⋅an+2​. נתון: a1=3a_1=3a1​=3, a3=12a_3=12a3​=12, וסימני איברי הסדרה מתחלפים.

א.

הוכיחו כי הסדרה ana_nan​ היא סדרה הנדסית.

ב.

מצאו את a2+a6a_2+a_6a2​+a6​.

שאלה 9 · מכפלת שני איברים השווה ל-1שאלת ביניים · קשה

ana_nan​ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה qqq, q≠1q\neq1q=1.
נתון: a4⋅a9=1a_4\cdot a_9=1a4​⋅a9​=1.

א.

הוכיחו כי q>0q>0q>0.

ב.

נתון a1>0a_1>0a1​>0. הביעו את ana_nan​ בעזרת qqq ו-nnn.

ג.

מצאו את כל הזוגות של מספרים טבעיים n<mn<mn<m שעבורם an⋅am=1a_n\cdot a_m=1an​⋅am​=1.

שאלה 10 · שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרליםשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בעבור כל nnn טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: 2A3+2A32+…+2A3n=A(1−13n)\frac{2A}3+\frac{2A}{3^2}+\ldots+\frac{2A}{3^n}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)32A​+322A​+…+3n2A​=A(1−3n1​)

ב.

הנקודה B היא אמצע הקטע OC. AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. מן הנקודה C מעבירים ישר המשיק למעגל בנקודה D. בנקודה B מעבירים משיק נוסף למעגל. שני המשיקים נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).
CBOADE

(1)

הוכיחו כי המרובע OBED הוא בר חסימה במעגל.

(2)

הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את המרובע OBED.

ג.

לפניכם שלוש פונקציות והגרפים א-ד. כל אחת מן הפונקציות מתוארת על ידי אחד מן הגרפים.
f(x)=x2(4−x2)f(x)=\sqrt{x^2(4-x^2)}f(x)=x2(4−x2)​, h(x)=x(4−x2)h(x)=\sqrt{x(4-x^2)}h(x)=x(4−x2)​, k(x)=x4−x2k(x)=x\sqrt{4-x^2}k(x)=x4−x2​
גרף א
גרף ב
גרף ג
גרף ד

(1)

בעבור כל אחת מן הפונקציות, קבעו איזה מן הגרפים מתאר אותה. נמקו את קביעותיכם.

נתונה הפונקציה: g(x)=xn4−x2g(x)=x^n\sqrt{4-x^2}g(x)=xn4−x2​, nnn הוא פרמטר טבעי גדול מ-1.

(2)

מצאו עבור אילו ערכים של nnn, הגרף הנותר מתאר את הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ד.

לפניכם גרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x), המוגדרת לכל x≠0x\neq0x=0. הישרים y=1y=1y=1 ו-x=0x=0x=0 הם אסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x). הפונקציה f(x)f(x)f(x) קעורה כלפי מטה עבור x<0x<0x<0 וקעורה כלפי מעלה עבור x>0x>0x>0.
f(x)

(1)

סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

(2)

רשמו את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) (אם יש כאלה).

נתון: a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

(3)

סדרו את הביטויים (1)-(4) שלפניכם מן הקטן ביותר אל הגדול ביותר (כתבו בצד שמאל את מספרו של הביטוי הקטן ביותר וכן הלאה). (1) המספר 1 (2) ∫a+1a+2f(x)dx\int_{a+1}^{a+2}f(x)dx∫a+1a+2​f(x)dx (3) ∫aa+1f(x)dx\int_a^{a+1}f(x)dx∫aa+1​f(x)dx (4) ∫aa+1f′(x)dx\int_a^{a+1}f'(x)dx∫aa+1​f′(x)dx.

עוד 9 שאלות על כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סדרות הנדסיות אינסופיות: סדרת ההפרשים $a_{2 n - 1} - a_{2 n}$ , התכנסות ומונוטוניות, יחס סכומים וסכום חלקי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ ( $q\neq1$ ). בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא…
סדרה הנדסית מתחלפת סימן, סדרה $b_{n} = a_{n} \cdot k^{n}$ , תנאי התכנסות ומחיקת כל איבר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ובה $m$ איברים ( $m$ הוא מספר טבעי גדול מ-2). נתון: הסימנים של איברי הסדרה A מתחלפים…
סדרה הנדסית אין-סופית: סכום הסדרה וסכום המקומות האי-זוגיים, סדרת מכפלות והוכחת סכום באינדוקציה (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא $q$ . נסמן ב- $S$ את סכום כל האיברים בסדרה, ונסמן ב- $T$ את סכום האיברים…
כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקות (שאלה קצרה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שבה $a_1=4$ ו- $q=\frac12$ . נגדיר $b_n=\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי.
סדרה הנדסית שבה $a_{2} \cdot a_{10} = 9$ : איבר אמצעי, איברים מתאימים ומכפלת איברים (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה היא $q$ . $|q|\neq1$ . נתון: $a_2\cdot a_{10}=9$ .
כלל נסיגה של סדרה הנדסית וחוקי חזקות (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה הנדסית $a_n$ נתון: $a_1=\frac{1}{64}$ , $q=2$ .
שאלות קצרות: זוגיות מגרף, סדרה הנדסית, טור הנדסי טריגונומטרי ואינטגרל של הזזה (שאלה מלאה · בינונית)
השלימו את הסרטוט אם הפונקציה היא זוגית.
איבר כללי של סדרה הבנויה ממכפלת איברים (שאלה קצרה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית שבה $a_1=3$ והמנה שלה היא $q=\frac12$ . נתונה סדרה $b_n$ שאיבריה מקיימים $b_n=\frac{1+q}{a_n\cdot a_{n+2}}$ לכל $n$ …
מכפלת איברים וחוקי חזקות בסדרה הנדסית (שאלת ביניים · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה היא $q$ . $|q|\neq1$ . נתון: $a_2\cdot a_{10}=9$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: אינדוקציה, מרובע בר-חסימה, גרפים של פונקציות שורש, גרף הנגזרת ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 1
בעבור כל $n$ טבעי הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי מתקיים: $\frac A2+\frac A{2^2}+\ldots+\frac A{2^n}=A\left(1-\frac1{2^n}\right)$
סדרות הנדסיות אינסופיות: הסדרה $a_{n} \cdot q^{n - 1}$ , התכנסות ומונוטוניות, יחס סכומים וסכום חלקי · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית אינסופית $A$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n$ ומנתה היא $q$ . בונים סדרה חדשה $B$ , שהאיבר הכללי שלה הוא $b_n=a_n\cdot q^{n-1}$ .
סדרה הנדסית שלילית, סדרה $b_{n} = \frac{k ^{n}}{a _{n}}$ , תנאי התכנסות ומחיקת כל איבר שלישי · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 2
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ובה $m$ איברים ( $m$ הוא מספר טבעי גדול מ-4). נתון: כל איברי הסדרה A הם שליליים. סכום $m-4$ האיברים…
סדרה הנדסית אין-סופית: סכומי המקומות האי-זוגיים והזוגיים, סדרת מכפלות והוכחת סכום באינדוקציה · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 2
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא $q$ . נסמן ב- $T$ את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה, ונסמן ב- $R$ את סכום…
סדרה הנדסית שבה $a_{3} \cdot a_{7} = 1$ : איבר אמצעי, איברים הפוכים ומכפלת איברים · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שהמנה שלה היא $q$ . $|q|\neq1$ . נתון: $a_3\cdot a_7=1$ .
שאלות קצרות: זוגיות מגרף, סדרה הנדסית, טור הנדסי טריגונומטרי ואינטגרל של הזזה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים א-ד.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (8)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מציאת מנת הגדילה או הדעיכה ואחוז השינוי (שאלה קצרה · קלה)
ערכה של מכונית יורד בכל שנה באחוז קבוע. לאחר 5 שנים ערכה של המכונית היה 60% מערכה ביום הקנייה.
מציאת מנת הגדילה או הדעיכה ואחוז השינוי (שאלה קצרה · קלה)
מחיר של דירה עלה בכל שנה באחוז קבוע. לאחר 8 שנים היה מחיר הדירה גדול פי 1.3 ממחירה בתחילת התקופה.
מציאת מנת הגדילה או הדעיכה ואחוז השינוי (שאלה קצרה · קלה)
בתקופת בצורת כמות המים באגם קטנה בכל יום באחוז קבוע. כעבור 8 ימים מתחילת הבצורת הייתה כמות המים באגם 70%…
מציאת מנת הגדילה או הדעיכה ואחוז השינוי (שאלה קצרה · קלה)
בתחילת שנת 2022 החלה עירייה להפעיל שירות של אופניים חשמליים שיתופיים. מספר המנויים לשירות גדל בכל שנה באחוז…
מעבר בין איבר כללי לכלל נסיגה (שאלה קצרה · קלה)
סדרה $b_n$ מוגדרת על ידי $b_1=-1$ , $b_{n+1}=b_n+2$ . מגדירים סדרה חדשה $a_n=3^{b_n}$ .
הוכחה שסדרה היא הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה $a_1=3$ , $a_{n+1}=4a_n-3$ . מגדירים סדרה חדשה: $b_n=a_n-1$ .
מעבר בין איבר כללי לכלל נסיגה (שאלה קצרה · בינונית)
סדרה מוגדרת על ידי $a_1=2$ ו- $a_{n+1}=(k^2-3k)\cdot a_n$ לכל $n\ge 1$ , כאשר $k$ פרמטר. נתון: $a_3=8$ , והסדרה…
מעבר בין איבר כללי לכלל נסיגה (שאלה קצרה · קשה)
סדרה מוגדרת על ידי $a_1=6^{10}$ ו- $a_{n+1}=\frac{a_n}{12}$ לכל $n\ge 1$ .