מבחן לדוגמה: מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתונים - כיתה י"א 5 יח"ל

הביעו באמצעות $k$ את מנת הסדרה $q$ ואת האיבר הראשון $a_1$.

נתון בנוסף: $a_9=128$. מצאו את $k$.

מצאו את $q$ (שתי אפשרויות).

נתון גם כי $a_1<0$.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין-סופית B באופן הזה: $\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldots$.

הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

הסבירו מדוע לסדרה B יש סכום אין-סופי, ומצאו אותו.

מצאו את הפרש הסדרה ואת $a_1$.

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית B שאיבריה הם: $b_1,b_2,b_3,\dots$. נתון: $b_1=a_{40}$, $3\cdot b_5=a_1$.

מצאו את המנה של הסדרה B (מצאו את שתי האפשרויות).

נתונה סדרה הנדסית C שאיבריה הם $c_1,c_2,c_3,\dots$. נתון: $c_2=a_4$, $c_5=a_1\cdot a_{40}$.

מצאו את המנה של הסדרה C ואת האיבר הראשון שלה $c_1$.

מצאו את הערך של $a_2$ (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה A לא עולה ולא יורדת.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין-סופית חדשה B. נתון כי איברי הסדרה B מקיימים $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ לכל $n$ טבעי.

הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה הנדסית אין-סופית נוספת C. איברי הסדרה C הם: $k\cdot a_1\cdot a_3,\ k\cdot a_3\cdot a_5,\ k\cdot a_5\cdot a_7, \ldots$. $k\ne0$ הוא פרמטר.

נסמן ב-$S_B$ את סכום הסדרה B, וב-$S_C$ את סכום הסדרה C.

נתון $S_C=3\cdot S_B$.

מצאו את הערך של $k$.

מצאו את הערך של $a_2$ (מצאו את שתי האפשרויות).

מצאו את האיבר הראשון $a_1$ ואת כל הערכים האפשריים של מנת הסדרה $q$.

האם המספר $-729$ הוא איבר בסדרה? ענו בעבור כל אחד מערכי המנה שמצאתם בסעיף א. אם כן - מצאו את מקומו.

מצאו את מנת הסדרה ואת המקום $k$ שעבורו $a_k-a_{k+1}=972$.