דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתונים - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול מציאת האיבר הראשון והמנה בסדרה הנדסית מתוך שני איברים נתונים, לכיתה י"א, 5 יחידות. לצד שאלות בסיסיות כמו נתון a_4 ו-a_7, יש שאלות שבהן האיברים נתונים בעזרת פרמטר, שאלה שבה צריך למצוא את המקום k של איבר נתון, ושאלות שבהן נתון קשר בין שלושה איברים. רוב השאלות ברמה קלה, ויש גם בינוניות ומעט קשות. מתאים לתרגול בכיתה ולבוחן ראשון בנושא; המורה מקבל פתרון מלא לכל שאלה ויכול לייצא את הדף ל-Word.

50 שאלותקלה: 31בינונית: 16קשה: 3

שאלה 1 · מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתוניםשאלה קצרה · קלה

בסדרה הנדסית ana_n נתון: a3=ka_3=k ו-a6=k4a_6=k^4, כאשר kk פרמטר, k≠0k\ne0.

א.

הביעו באמצעות kk את מנת הסדרה qq ואת האיבר הראשון a1a_1.

ב.

נתון בנוסף: a9=128a_9=128. מצאו את kk.

שאלה 2 · מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתוניםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית ana_n נתון a1=3a_1=3. ידוע כי עבור מקום מסוים kk מתקיים ak=96a_k=96 ו-ak+2=384a_{k+2}=384.

מצאו את מנת הסדרה qq ואת kk.

שאלה 3 · סדרה הנדסית חיובית: יחס סכומים, מכפלת איברים ומציאת הסדרהשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots, ומנתה qq. לכל nn טבעי נסמן: SnS_n - סכום nn האיברים הראשונים; Rn=1a1+1a2+…+1anR_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}; Pn=a1⋅a2⋅…⋅anP_n=a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n - מכפלת nn האיברים הראשונים.

א.

הביעו את SnRn\frac{S_n}{R_n} באמצעות a1a_1 ו-ana_n בלבד.

ב.

הביעו את PnP_n באמצעות a1a_1, ana_n ו-nn.

ג.

ידוע כי עבור nn מסוים: SnRn=64\frac{S_n}{R_n}=64 ו-Pn=215P_n=2^{15}. מצאו את nn.

ד.

נתון בנוסף כי עבור אותו nn: Sn=62S_n=62. מצאו את a1a_1 ואת qq (את כל האפשרויות).

שאלה 4 · מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתוניםשאלה קצרה · קלה

בסדרה הנדסית ana_n נתון: a4=−24a_4=-24, a7=192a_7=192.

א.

מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון.

ב.

האם 15361536 הוא איבר בסדרה? אם כן, מצאו את מקומו; אם לא, נמקו.

שאלה 5 · מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתוניםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית ana_n נתון: a2=2a_2=2, a4=xa_4=x, a6=x+24a_6=x+24.

מצאו את xx ואת כל הערכים האפשריים של מנת הסדרה qq.

שאלה 6 · מנה ואיבר ראשון מקשר בין איבריםשאלה קצרה · קשה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה הם a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots.

נתון: a1−3a3=12a_1-3a_3=12, a5a3=19\frac{a_5}{a_3}=\frac19.

מצאו את הערך של a2a_2 (מצאו את שתי האפשרויות).

שאלה 7 · סדרה הנדסית: מנה משני איברים, סוג הסדרה וסכום סדרת ההופכייםשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא ana_n ומנתה היא qq. נתון: a2=6a_2=6, a4=54a_4=54.

א.

מצאו את qq (שתי אפשרויות).

ב.

נתון גם כי a1<0a_1<0.

(1)

מצאו את qq ואת a1a_1.

(2)

קבעו אם הסדרה A עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת. נמקו.

ג.

מן הסדרה A בונים את הסדרה האין-סופית B באופן הזה: 1a1,1a2,1a3,1a4,…\frac1{a_1},\frac1{a_2},\frac1{a_3},\frac1{a_4},\ldots.

הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

ד.

הסבירו מדוע לסדרה B יש סכום אין-סופי, ומצאו אותו.

שאלה 8 · מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתוניםשאלה קצרה · בינונית

בסדרה הנדסית ana_n נתון a3=4a_3=4. עבור מספר טבעי מסוים nn ידוע כי an=32a_n=32 וכי a2n=2048a_{2n}=2048.

מצאו את מנת הסדרה qq ואת nn.

שאלה 9 · מנה ואיבר ראשון מהפרשים של איבריםשאלת ביניים · קשה

בסדרה הנדסית ana_n נתון: a3−a1=24a_3-a_1=24, a5−a3=216a_5-a_3=216.

א.

מצאו את האיבר הראשון a1a_1 ואת כל הערכים האפשריים של מנת הסדרה qq.

ב.

האם המספר −729-729 הוא איבר בסדרה? ענו בעבור כל אחד מערכי המנה שמצאתם בסעיף א. אם כן - מצאו את מקומו.

ג.

מצאו את מנת הסדרה ואת המקום kk שעבורו ak−ak+1=972a_k-a_{k+1}=972.

שאלה 10 · סדרה הנדסית: סדרת הופכי מכפלות וסכום אין-סופי - מודרךשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots.

נתון: a2=−6a_2=-6, a5=162a_5=162.

א.

מצאו את המנה qq של הסדרה A ואת האיבר הראשון a1a_1.

ב.

בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין-סופית B שאיבריה מקיימים bn=1an⋅an+1b_n=\frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי.

הראו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית שמנתה 19\frac19, ומצאו את b1b_1.

ג.

הסבירו מדוע לסדרה B יש סכום, וחשבו אותו.

ד.

בונים סדרה C שאיבריה הם ka1⋅a2, ka3⋅a4, ka5⋅a6,…\frac{k}{a_1\cdot a_2},\ \frac{k}{a_3\cdot a_4},\ \frac{k}{a_5\cdot a_6}, \ldots, כאשר k≠0k\ne0 הוא פרמטר.

(1)

הראו כי C היא סדרה הנדסית שמנתה 181\frac{1}{81}, והביעו את c1c_1 באמצעות kk.

(2)

נתון SC=9⋅SBS_C=9\cdot S_B. מצאו את kk.

עוד 7 שאלות על מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתונים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. סדרה הנדסית: מכפלת האיברים הצמודים לאיבר האמצעי, סדרת ההופכיים וסכום אין-סופי (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא ana_n ומנתה היא qq.

  2. מציאת האיבר הראשון והמנה משני איברים נתונים (שאלה קצרה · קלה)

    בסדרה הנדסית a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots נתון: a6=9a4a_6=9a_4, a5−a3=48a_5-a_3=48.

  3. סדרה הנדסית: סדרות של מכפלות איברים, מונוטוניות וסכום אין-סופי עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה הם a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots. נתון: a1−3a3=12a_1-3a_3=12, a5a3=19\frac{a_5}{a_3}=\frac19.

  4. סדרה הנדסית שלילית, סדרת ההפכיים וסכום האיברים במקומות האי-זוגיים (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה סדרה הנדסית אין-סופית A שאיבריה a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\ldots. כל איברי הסדרה A שליליים. נתון: a1=−12a_1=-\frac12, a5=81a1a_5=81a_1.

  5. סדרות הנדסיות: סדרת המכפלות, מונוטוניות וסכומים אין-סופיים (שאלה מלאה · בינונית)

    ana_n היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה היא qq. bnb_n היא סדרה הנדסית אין-סופית עולה שמנתה היא 4q4q. cnc_n היא סדרה אין-סופית שאיבריה…

  6. מנה ואיבר ראשון משני איברים נתונים (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots. נתון: a2=−6a_2=-6, a5=162a_5=162.

  7. מסדרה חשבונית לסדרות הנדסיות: מציאת המנה והאיבר הראשון (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה סדרה חשבונית A, ובה 40 איברים: a1,a2,a3,…a_1,a_2,a_3,\dots. נתון: a7=3a2a_7=3a_2. האיבר האחרון בסדרה A הוא 81.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (30)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.