מבחן לדוגמה: סכום n איברים - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $m$ שבעבורו סכום $m$ האיברים הראשונים של $b_n$ הוא 1275.

חשבו את $a_1$, $a_2$ ו-$a_3$.

הראו כי לכל $n$ טבעי מתקיים $a_n=4n+1$.

הוכיחו כי הסדרה $a_n$ היא סדרה חשבונית, ומצאו את ההפרש שלה.

נתונה סדרה הנדסית $b_n$ שבה $b_1=a_1$ והמנה שווה ל-$\frac{d}{2}$. נתונה סדרה הנדסית אינסופית $c_n$ שבה $c_1=a_1$ והמנה שווה ל-$\frac{1}{d}$ ($d$ - ההפרש של $a_n$).

מצאו את $m$ שבעבורו סכום $m$ האיברים הראשונים של $b_n$ הוא 1275.

מצאו את סכום כל איברי הסדרה $c_n$, וקבעו אם $c_n$ סדרה עולה או יורדת. נמקו.

מצאו את $m$.

האם הסדרה: $a_1^2, a_2^2, a_3^2, \ldots$ היא סדרה הנדסית? הוכיחו את תשובתכם.

הסדרה C מתקבלת מן הסדרה A על ידי לקיחת האיברים הנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה A: $c_1=a_1$, $c_2=a_3$, $c_3=a_5$, וכך הלאה. נסמן ב-$T_m$ את הסכום של $m$ האיברים הראשונים של הסדרה C. נתון כי $m$ הוא מספר טבעי אי-זוגי.

נתונה נוסחה: $a_1^2+a_3^2+a_5^2+\ldots+a_{2m-1}^2=T_m\cdot\left(a_1-a_3+a_5-\ldots+a_{2m-1}\right)$. קבעו אם הנוסחה הנתונה נכונה. הוכיחו את תשובתכם.

ידוע כי עבור $n$ מסוים: $\frac{S_n}{R_n}=64$ ו-$P_n=2^{15}$. מצאו את $n$.

נתון בנוסף כי עבור אותו $n$: $S_n=62$. מצאו את $a_1$ ואת $q$ (את כל האפשרויות).

הוכיחו כי $b_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $q$, והביעו את $b_n$ באמצעות $a_n$ ו-$q$.

נתון: האיבר הראשון בסדרה $a_n$ גדול מסכום כל שאר האיברים בה, וסכום הסדרה $b_n$ גדול פי 6.25 מן האיבר $b_2$.

מצאו את $q$.

בסדרה $b_n$ מחליפים את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים. סכום הסדרה האין-סופית שמתקבלת הוא 25.

מצאו את $a_1$.

מהו המספר הקטן ביותר של איברים ראשונים בסדרה $b_n$ (בלי החלפת הסימנים) שסכומם גדול מ-37?